[논문 리뷰] Several new tail index estimators

Vygantas Paulauskas, Marijus Vaiÿciulis|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 05.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무거운 尾 분포를 위한 개선된 꼬리 지수 추정량을 구성하기 위해 새로운 비단조화성, 거듭제곱-로그 함수 클래스 $ g_{r,u}(x) = x^r \ln^u(x) $ 를 도입한다. 이러한 함수를 사용하여 극단치 순서통계량의 비율 기반 추정량을 구성함으로써, 두 번째 차수의 정규화 매개변수 전역에서 힐 추정량 및 기타 고전적 추정량보다 더 우수한 점근적 성능을 달성한다. 이는 이론적으로 점근 정규성과 더 낮은 점근적 평균제곱오차를 확립하고 시뮬레이션으로부터 지지된다.

ABSTRACT

In the paper we propose some new class of functions which is used to construct tail index estimators. Functions from this new class is non-monotone in general, but presents a product of two monotone functions: the power function and the logarithmic function, which plays essential role in the classical Hill estimator. Introduced new estimators have better asymptotic performance comparing with the Hill estimator and other popular estimators over all range of the parameters present in the second order regular variation condition. Asymptotic normality of the introduced estimators is proved, and comparison (using asymptotic mean square error) with other estimators of the tail index is provided. Some preliminary simulation results are presented.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수의 정규화 매개변수 전역에서 기존 방법보다 뛰어난 성능을 보이는 새로운 꼬리 지수 추정량 클래스를 개발하는 것.
• 힐 및 피카운즈와 같은 고전적 추정량의 단조성 제한을 해결하기 위해 로그 구조를 유지하면서 비단조화성 함수를 도입함으로써, 이를 초월하는 것.
• 새로운 추정량의 점근 정규성과 점근적 평균제곱오차(AMSE)를 확립하여 기존 방법과의 이론적 비교를 가능하게 하는 것.
• 더 나은 유한표본 성능를 보이는 힐 추정량의 이상적인 이론적이고 경험적으로 검증된 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 $ x \geq 1 $ 에 대해 $ g_{r,u}(x) = x^r \ln^u(x) $ 를 만족하는 매개변수화된 함수의 가족을 제안하며, 여기서 $ r \in \mathbb{R} $, $ u \in \mathbb{R} $ 이고, 제약 조건으로 $ \gamma r < 1 $, $ u > -1 $ 이며, $ u $ 는 정수로 제한한다.
• 극단치 순서통계량의 비율에 기반한 새로운 통계량 $ G_n(k,r,u) = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} g_{r,u}\left( \frac{X_{n-i,n}}{X_{n-k,n}} \right) $ 을 정의한다.
• 닫힌 형태의 표현식을 포함하는 $ G_n(k,r,0) $, $ G_n(k,r,1) $, $ G_n(k,0,2) $ 를 사용하여 세 개의 새로운 추정량 $ \hat{\gamma}^{(1)}_n, \hat{\gamma}^{(2)}_n, \hat{\gamma}^{(3)}_n $ 을 구성한다.
• 복잡한 기능적 델타 방법을 피하기 위해 다변량 중심극한정리와 연속성 사상 정리(continuous mapping theorem)를 사용하여 추정량의 점근 정규성을 증명한다.
• 점근적 평균제곱오차(AMSE) 표현식을 유도하고, 힐 추정량, 모멘트 추정량, 모멘트 비율 추정량과 비교한다.
• 시뮬레이션 연구를 통해 이론적 결과의 초보적 경험적 검증을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거듭제곱 및 로그 성분을 포함하는 새로운 비단조화성 함수 클래스가 힐 추정량을 초월하여 꼬리 지수 추정에 개선을 이끌 수 있는가?
• RQ2 다양한 두 번째 차수 매개변수에 걸쳐, 새로운 추정량의 점근적 편향과 분산이 힐 추정량, 모멘트 추정량, 모멘트 비율 추정량과 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ3 제안된 추정량 가족은 꼬리 지수 값과 두 번째 차수 매개변수 전역에서 양호한 유한표본 성능를 유지하는가?
• RQ4 복잡한 기능적 중심극한정리에 의존하지 않고도 새로운 추정량에 대해 점근 정규성과 AMSE 표현식을 엄밀하게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 추정량은 두 번째 차수 매개변수 전역에서 힐 추정량 및 기타 유명한 추정량보다 뛰어난 점근적 성능를 보인다.
• 다변량 중심극한정리와 연속성 사상 정리를 사용하여 제안된 추정량의 점근 정규성이 엄밀하게 확립되었다.
• 모든 고려된 매개변수 설정에서 새로운 추정량의 점근적 평균제곱오차(AMSE)는 힐 추정량 및 기타 고전적 추정량보다 균일하게 낮다.
• $ \hat{\gamma}^{(3)}_n $ 추정량은 $ r \neq 0 $ 일 때 점근적으로 편향이 없음(편향 $ B^{(2)} = 0 $)임이 입증되었고, $ r = 0 $ 일 경우 편향이 발산함을 보여, 로그 극한에서의 구조적 한계를 나타낸다.
• 이론적 분석을 통해 새로운 추정량이 일致하고 표준 $ \sqrt{k} $ 속도로 수렴함을 확인하였으며, 수렴 속도는 기존 방법과 동일하거나 향상됨을 보였다.
• 초기 시뮬레이션 결과는 이론적 결과를 지지하며, 다양한 꼬리 지수 및 두 번째 차수 매개변수 설정에서 새로운 추정량이 더 나은 유한표본 성능를 보임을 시사한다.