[논문 리뷰] Sharp Hölder continuity of tangent cones for spaces with a lower Ricci curvature bound and applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 24.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하한이 있는 리치 곡률을 가진 미터 측도 공간에서 최소화 지오데식을 따라 접선 콩의 샤프한 헬더 연속성을 확립한다. 이는 Gromov-Hausdorff 거리가 인접한 점들에서 접선 콩의 단위 구의 사이에서 지수 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ 로 감소함을 증명한다. 이 결과는 극한 공간에 대한 깊은 정규성 성질을 암시하며, 정규 집합의 약한 볼록성, 등급군의 리 군 구조, 그리고 균일한 Reifenberg 유형 정규성으로 이어져 Cheeger–Colding의 핵심 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We prove a new kind of estimate that holds on any manifold with lower Ricci bounds. It relates the geometry of two small balls with the same radius, potentially far apart, but centered in the interior of a common minimizing geodesic. It reveals new, previously unknown, properties that all generalized spaces with a lower Ricci curvature bound must have and it has a number of applications. This new kind of estimate asserts that the geometry of small balls along any minimizing geodesic changes in a Hölder continuous way with a constant depending on the lower bound for the Ricci curvature, the dimension of the manifold, and the distance to the end points of the geodesic. We give examples that show that the Hölder exponent, along with essentially all the other consequences that we show follow from this estimate, are sharp. The unified theme for all of these applications is convexity. Among the applications is that the regular set is convex for any non-collapsed limit of Einstein metrics. In the general case of potentially collapsed limits of manifolds with just a lower Ricci curvature bound we show that the regular set is weakly convex and $a.e.$ convex, that is almost every pair of points can be connected by a minimizing geodesic whose interior is contained in the regular set. We also show two conjectures of Cheeger-Colding. One of these asserts that the isometry group of any, even collapsed, limit of manifolds with a uniform lower Ricci curvature bound is a Lie group; the key point for this is to rule out small subgroups. The other asserts that the dimension of any limit space is the same everywhere. Finally, we show that a Reifenberg type property holds for collapsed limits and discuss why this indicate further regularity of manifolds and spaces with Ricci curvature bounds.

연구 동기 및 목표

• 하한이 있는 리치 곡률을 가진 공간에서 최소화 지오데식을 따라 작은 구의 기하학에 대한 새로운 헬더 연속성 추정을 확립하기 위해.
• 이러한 공간에서 접선 콩이 지오데식을 따라 위치에 따라 헬더 연속적으로 변함을 증명하기 위해, 심지어 붕괴된 경우에도 적용 가능하게.
• Cheeger–Colding의 오랜 동안의 두 추측을 해결하기 위해: 리치 하한 유계 극한 공간의 등급군이 리 군임을 보이고, 이러한 극한 공간의 차원이 곳곳에서 일정함을 보이는 것.
• 정규 집합 내의 지오데식에 대해 균일한 Reifenberg 유형 정규성 성질을 확립하여, 이러한 지오데식 근처에서 공간의 보다 높은 정규성을 암시하기 위해.

제안 방법

• 주요 기법은 최소화 지오데식을 따라 작은 구의 기하학을 연결하는 새로운 Gromov-Hausdorff 추정으로, 중심 간 거리에 따라 헬더 유형 감소를 보인다.
• 증명은 체적 비교, 극한 분석, Gromov-Hausdorff 수렴 하에서 극한 공간의 구조를 조합한 데 기반한다.
• 저자들은 '극한 지오데식'—리치 곡률 하한이 있는 다양체의 지오데식 수열의 극한으로 나타나는 지오데식—개념을 사용한다.
• 그들은 이러한 지오데식을 따라 점들 주위에서 스케일링을 통해 접선 콩을 정의하고, 동일한 스케일링 수열에서 유도된 콩들이 헬더 연속적으로 변동함을 증명한다.
• 이 증명은 헬더 지수 $\alpha(n)$ 가 실제로 $\frac{1}{2}$ 로서 특정 공간이나 지오데식에 독립적으로 작용함을 활용한다.
• 이 방법은 비붕괴 및 붕괴된 극한 모두, 특히 특이 극한 공간에 대해 균일하게 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하한이 있는 리치 곡률을 가진 공간에서 최소화 지오데식을 따라 작은 구의 기하학은 지오데식을 따라 위치에 따라 헬더 연속적으로 변하는가?
• RQ2 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간에서 정규 집합이 약한 볼록성과 거의 곳곳에서 볼록성을 띠는가?
• RQ3 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간의 등급군은 반드시 리 군인가, 심지어 붕괴된 경우에도?
• RQ4 정규 집합 내의 지오데식에 대해 균일한 Reifenberg 유형 정규성 성질이 성립하는가? 이는 더 높은 정규성을 암시하는가?
• RQ5 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간의 차원은 전체 공간에서 일정한가?

주요 결과

• 최소화 지오데식을 따라 점들에서 접선 콩의 단위 구 사이의 Gromov-Hausdorff 거리는 지수 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ 로 감소하며, 이는 특정 공간이나 지오데식에 독립적이다.
• 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간에서 정규 집합은 약한 볼록성과 거의 곳곳에서 볼록성을 띠며, 거의 모든 정규 점 쌍은 내부가 정규 집합에 속하는 최소화 지오데식으로 연결될 수 있다.
• 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간의 등급군은 리 군이며, Cheeger–Colding의 추측을 해결하여 작은 부분군의 존재를 배제한다.
• 정규 집합 내의 지오데식에 대해 균일한 Reifenberg 유형 성질이 성립한다: 모든 작은 척도에서 공간은 유클리드 공간에 Gromov-Hausdorff로 가까이 있으며, 이는 향상된 정규성을 암시한다.
• 리치 하한 유계 다양체의 극한 공간의 차원은 어디서나 일정하며, Cheeger–Colding의 다른 추측을 확인한다.
• 결과는 샤프하다: 예시들은 헬더 지수 $\alpha(n) = \frac{1}{2}$ 와 그로 유도된 모든 결과들이 향상될 수 없음을 보여준다.