[논문 리뷰] Sharp Stability and Optimal Order Error Analysis of the quasi-nonlocal approximation of unconstrained linear and circular chains in 2-D

Pavel Bělı́k, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 22.

Microstructure and mechanical properties참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 선형 및 원형 원자 사슬에 대한 준비류(Quasi-nonlocal) 근사의 날카운 안정성 및 최적 순서 오차 분석을 제시하며, 비선형성에 의한 왜곡이나 결합 각도 포텐셜을 포함할 경우에 압축 하중 하에서 격자 안정성이 향상됨을 입증한다. 이는 원자적-연속체 결합 모델의 정확성과 견고성을 향상시킨다.

ABSTRACT

The quasi-nonlocal approximation is a consistent method for coupling atomistic and Cauchy--Born continuum models. We give a sharp lattice stability and optimal order error analysis of the quasi-nonlocal approximation of linear and circular chains in 2-D. Our analysis allows general 2-D periodic perturbations that are not constrained to be collinear. Previous analyses of linear chains have shown that the quasi-nonlocal approximation reproduces the atomistic lattice stability for collinear perturbations. However, linear chains can undergo buckling instabilities under compression when non-collinear perturbations are allowed. We show that the Cauchy--Born approximation gives a finite increase in the lattice stability of a linear or circular chain under compression. We also analyze the increase of the lattice stability under compression when pair potential energies are augmented by bond-angle energies.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 주기적 왜곡 하에서 2차원 선형 및 원형 원자 사슬에서 준비류 근사의 격자 안정성을 분석하는 것.
• 이전의 선형 왜곡 결과를 비선형 변형으로 확장하여 붕괴를 유도할 수 있는 비선형 변형을 포함하는 것.
• 압축 하중 하에서 카우치-본 근사가 격자 안정성에 기여하는 정도를 정량화하는 것.
• 결합 각도 에너지 기여가 준비류 근사에 미치는 안정화 효과를 조사하는 것.

제안 방법

• 2차원에서 원자적 모델과 카우치-본 연속체 모델을 결합하기 위해 준비류 근사를 적용한다.
• 선형 및 원형 사슬에 대해 변분 형식을 사용하여 이산 시스템 방정식을 유도한다.
• 일반적인 2차원 주기적 왜곡 하에서 에너지 함수의 헤시안을 분석하여 날카운 안정성 분석을 수행한다.
• 결합 각도 항을 포함한 쌍 포텐셜 에너지를 도입하여 안정화 영향을 평가한다.
• 점근적 분석 및 에너지 비교 기법을 사용하여 최적 순서 오차 추정치를 도출한다.
• 압축 하중 하에서의 안정성 평가를 위해 선형 및 원형 사슬 기하 구조를 모두 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준비류 근사는 2차원 선형 사슬에서 비선형 왜곡 하에서 격자 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 카우치-본 근사는 2차원 사슬에서 붕괴가 발생하기 전에 임계 압축 하중을 증가시키는가?
• RQ3 결합 각도 에너지 항은 준비류 근사의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 준비류 방법에서 메esh 세분화에 따라 오차 추정치는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 준비류 방법은 원형 사슬이 압축 하중을 받을 때 안정성 행동을 정확하게 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 이전에 보고된 바와 같이, 준비류 근사는 선형 왜곡 하에서 원자적 격자 안정성을 유지한다.
• 비선형 왜곡 하에서 선형 사슬은 붕괴 불안정성을 보이며, 카우치-본 근사는 임계 압축 하중을 증가시켜 이를 완화한다.
• 압축 하중 하에서 선형 및 원형 사슬 모두에 대해 카우치-본 근사는 유한한 안정성 증가 효과를 제공한다.
• 결합 각도 에너지 항의 포함은 준비류 근사의 안정성을 추가로 향상시킨다.
• 최적 순서 오차 추정치가 확립되어, 이 방법이 원자적 에너지 및 힘을 근사하는 데 정확함을 확인한다.
• 분석은 선형 변형에 국한되지 않고 일반적인 2차원 주기적 왜곡에 대해 유효하다.