[논문 리뷰] Short-time asymptotics for marginal distributions of semimartingales

Amel Bentata, Rama Cont|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이토 반마르팅글의 스무스하고 비스무스 함수에 대한 조건부 기대값에 대한 단기 점근적 성질를 유도하며, 근처에서 이격된 콜옵션은 선형 시간 감쇠를 보이며, 근처에서 균형을 이룬 옵션은 국소 시간과 변동성과 같은 국소 특성에 의해 결정된다는 것을 보여준다. 주요 기여는 마코프성과 레비 과정을 초월하여 일반적인 비연속 반마르팅글에 대해 이전 결과를 확장하는 통합 프레임워크를 제공하는 것으로, 이는 확률 미적분학과 국소 특성에 기반한다.

ABSTRACT

We study the short-time asymptotics of conditional expectations of smooth and non-smooth functions of a (discontinuous) Ito semimartingale; we compute the leading term in the asymptotics in terms of the local characteristics of the semimartingale. We derive in particular the asymptotic behavior of call options with short maturity in a semimartingale model: whereas the behavior of extit{out-of-the-money} options is found to be linear in time, the short time asymptotics of extit{at-the-money} options is shown to depend on the fine structure of the semimartingale.

연구 동기 및 목표

• 마코프성과 레비 과정을 초월하여 일반적인 이토 반마르팅글(점프 포함)에 대해 단기 점근적 성질를 일반화하는 것.
• 시간이 0에 수렴할 때 반마르팅글의 스무스하고 비스무스 함수에 대한 조건부 기대값의 주요 항을 특성화하는 것.
• 일반적인 반마르팅글 모델에서 단기 만기 콜옵션 가격에 대한 명시적 점근 전개를 유도하는 것.
• 변동성, 점프 강도, 국소 시간과 같은 국소 특성이 단기 만기 옵션 가격의 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 규명하는 것.
• 확률 미적분학과 국소 특성에 기반한 단일 프레임워크를 사용하여 이전의 디퓨전, 레비, 점프-디퓨전 모델의 결과를 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 비스무스 함수(예: 콜 프리미엄 $(S_t - K)^+$)의 역동성을 분해하기 위해 이토의 공식과 탄카-마이어 공식을 사용한다.
• 일반적인 $C^2_b$ 함수에 대한 단기 점근적 결과를 적용하여 $\mathbb{E}[f(\xi_t) \mid \mathcal{F}_{t_0}]$ 전개의 주요 항을 국소 특성에 따라 유도한다.
• 근처에서 균형을 이룬 옵션의 경우, 탄카-마이어 공식을 통해 국소 시간 성분에 집중하며, 이 성분이 $\sqrt{t}$ 척도에서 지배적임을 보여준다.
• 이 방법은 국소 마르팅글과 임의의 측도에 대한 스토크라스틱 적분을 포함한 반마르팅글에 대한 확률 미적분학에 기반한다.
• 확산 계수 $\delta_t$ 에 대한 비퇴화 조건을 도입하여 주요 항이 0이 아니며 잘 정의됨을 보장한다.
• 독립 증분 또는 마코프 성질에 대한 가정을 피하고, 대신 반마르팅글 분해의 국소 특성과 정규성에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 반마르팅글 모델에서 만기까지 남은 시간이 0에 수렴할 때 스무스 함수에 대한 조건부 기대값은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 비연속 반마르팅글 모델에서 근처에서 균형을 이룬 콜옵션의 단기 점근적 성질은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 옵션 가격의 점근 전개에서 주요 항은 변동성과 점프 강도와 같은 국소 특성에 대해 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 비스무스한 수익 구조 $(S_t - K)^+$ 는 단기 만기 영역에서 스무스 함수와 다른 척도 행동을 유도하는가?
• RQ5 이전의 디퓨전 및 레비 과정에 대한 결과는 마코프성 또는 독립 증분 성질을 가정하지 않고 얼마나 일반화되는가?

주요 결과

• 스무스 함수 $f \in C^2_b$ 에 대해 $\mathbb{E}[f(\xi_t) \mid \mathcal{F}_{t_0}]$ 의 단기 점근적 성질은 $t - t_0$ 에 대해 선형이며, 주요 항은 반마르팅글의 무한소 생성자에 의해 결정된다.
• 근처에서 이격된 콜옵션은 시간에 대해 선형 감쇠를 보인다: $\mathbb{E}[(S_t - K)^+ \mid \mathcal{F}_{t_0}] \sim c(t - t_0)$ for $K > S_{t_0}$, 여기서 $c$ 는 드리프트와 변동성에 의해 결정된다.
• 근처에서 균형을 이룬 콜옵션($K = S_{t_0}$)은 $\sqrt{t - t_0}$ 척도를 가지며, 주요 항은 $S_{t_0} \delta_{t_0} / \sqrt{2\pi}$ 에 비례한다. 여기서 $\delta_{t_0}$ 는 확산 계수이다.
• 근처에서 균형을 이룬 옵션의 점근적 행동은 변동성 외에도 과정이 행사가격에서의 국소 시간에 의해 지배된다.
• 점프 성분은 근처에서 균형을 이룬 옵션의 점근적 성질에 대해 낮은 순서의 항($o(\sqrt{t})$)만 기여하며, 확산 성분이 지배적이다.
• 결과는 이전의 디퓨전, 레비 과정, 스토크라스틱 볼라티리티 모델의 결과를 통합하고 확장하며, 증분의 독립성과 마코프 성질이 점근적 구조에 필수적이지 않음을 보여준다.