[논문 리뷰] Shuffles of deformed permutahedra, multiplihedra, constrainahedra, and biassociahedra

Frédéric Chapoton, Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 43인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 그래픽 제오노토프를 통해 정의된 변형된 퍼뮤테이하드론 위의 새로운 셔플 연산을 제안하며, m-퍼뮤테이하드론과 n-아소시아헤드론의 셔플이 (m,n)-멀티플리헤드론이 되고, 두 아소시아헤드론의 셔플이 (m,n)-컨스트레인아헤드론이 되며, 반대 아소시아헤드론과 아소시아헤드론의 셔플이 (m,n)-바이아소시아헤드론이 된다는 것을 보여준다. 주요 기여는 바이아소시아헤드론의 첫 번째 완전한 볼록 다면체 표현이며, 정점, 면, 믹스키 오합 기술이 명시되어 있고, 장식된 트리 기반의 f-다항식 생성 함수도 제시한다.

ABSTRACT

We introduce the shuffle of deformed permutahedra (a.k.a. generalized permutahedra), a simple associative operation obtained as the Cartesian product followed by the Minkowski sum with the graphical zonotope of a complete bipartite graph. Besides preserving the class of graphical zonotopes (the shuffle of two graphical zonotopes is the graphical zonotope of the join of the graphs), this operation is particularly relevant when applied to the classical permutahedra and associahedra. First, the shuffle of an $m$-permutahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-multiplihedron, whose face structure is encoded by $m$-painted $n$-trees, generalizing the classical multiplihedron. We show in particular that the graph of the $(m,n)$-multiplihedron is the Hasse diagram of a lattice generalizing the weak order on permutations and the Tamari lattice on binary trees. Second, the shuffle of an $m$-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-constrainahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-cotrees, and reflects collisions of particles constrained on a grid. Third, the shuffle of an $m$-anti-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-biassociahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-bitrees, with relevant connections to bialgebras up to homotopy. We provide explicit vertex, facet, and Minkowski sum descriptions of these polytopes, as well as summation formulas for their $f$-polynomials based on generating functionology of decorated trees.

연구 동기 및 목표

• 새로운 셔플 연산을 통해 변형된 퍼뮤테이하드론에 기반하여 멀티플리헤드론, 컨스트레인아헤드론, 바이아소시아헤드론을 통합적인 기하학적 구조로 제시한다.
• 이전에 오직 위상적 세포 복합체로만 알려져 있던 바이아소시아헤드론을 볼록 다면체로 실현하는 오랜 문제를 해결한다.
• 특히 바이아소시아헤드론을 중심으로, 이 새로운 다면체의 정점, 면, 믹스키 합 기술을 명시적으로 확립한다.
• 장식된 트리 조합론을 이용해 f-다항식의 생성 함수를 유도하여 차원별 면의 수를 세는 데 기여한다.
• 셔플 구조를 통해 고전적인 격자 구조(약한 순서, 탐리 라티스)를 고차원 다면체 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 셔플 연산을 카티esian 곱과 완전 이분 그래프의 그래픽 제오노토프의 믹스키 합으로 정의한다.
• 셔플이 그래픽 제오노토프의 클래스를 유지함을 증명하며, 두 그래픽 제오노토프의 셔플이 그들의 기저 그래프의 조인의 제오노토프에 대응함을 보인다.
• 면의 구조를 (m,n)-멀티플리헤드론의 면 라티스가 일반화된 약한 순서와 동형임을 보여주는 m-장식된 n-트리(또는 m-painted n-trees)를 사용해 표현한다.
• (m,n)-코트리와 (m,n)-바이트리를 각각 컨스트레인아헤드론과 바이아소시아헤드론의 면 구조를 표현하기 위해 도입한다.
• 재귀적 트리 구성과 호환 가능한 노드 분할을 통해 정점과 면의 명시적 기술을 구성한다.
• 카탈란과 슈뢰더 생성 함수에 대한 대체를 통해 f-다항식의 생성 함수를 도출하며, 비퇴화된 경우를 제외하기 위해 항을 빼낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 순열의 약한 순서와 이진 트리의 탐리 라티스를 일반화하는 면 라티스를 갖는 (m,n)-멀티플리헤드론은 볼록 다면체로 실현될 수 있는가?
• RQ2 (m,n)-컨스트레인아헤드론의 조합적 구조는 무엇이며, 이를 격자 위의 입자 충돌 모델링에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 (m,n)-바이아소시아헤드론은 어떻게 볼록 다면체로 실현될 수 있으며, 이의 면 라티스는 호모토피에 대한 이중대수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 이 새로운 다면체의 정점, 면, 믹스키 합 기술은 무엇인가?
• RQ5 이 다면체의 f-다항식 생성 함수는 무엇이며, 장식된 트리와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• (m,n)-멀티플리헤드론은 m-퍼뮤테이하드론과 n-아소시아헤드론의 셔플을 통해 볼록 다면체로 실현되며, 그 면 라티스는 약한 순서와 탐리 라티스를 일반화하는 라티스와 동형이다.
• (m,n)-컨스트레인아헤드론은 두 아소시아헤드론의 셔플로 유도되며, (m×n)-격자 내 최대 직사각형 괄호 구조를 표현하며, 면의 구조는 (m,n)-코트리에 의해 지배된다.
• (m,n)-바이아소시아헤드론은 바이아소시아헤드론의 첫 번째 완전한 볼록 다면체 표현이며, 정점은 이진 (m,n)-바이트리에 대응하고, 면은 슈뢰더 트리와 코로라에 의해 기술된다.
• (m,n)-바이아소시아헤드론의 정점 수는 카탈란 생성 함수 C(x)와 수정된 C*(x) 함수의 반복적 합성으로 구성된 생성 함수로 주어진다.
• (m,n)-바이아소시아헤드론의 면 수는 (2m−1)(2n−1) + (m+1 선택 2) + (n+1 선택 2) −1이며, 이는 다양한 트리 유형의 기여를 반영한다.
• (3,3)-바이아소시아헤드론의 f-벡터는 f(Bias(3,3)) = (1, 606, 1549, 1382, 497, 60, 1)이며, (3,3)-컨스트레인아헤드론의 f-벡터 (1, 606, 1550, 1384, 498, 60, 1)와 약간 다름을 보인다.