[논문 리뷰] Sign Problems in Quantum Field Theory: Classical and Quantum Approaches

Scott Ross Lawrence|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 117인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자장론의 부호 문제를 극복하기 위한 두 가지 접근법을 제안한다: 장 변수를 복소수로 확장하고 코시의 적분정리를 적용하여 최적의 적분 경로를 찾는 것, 그리고 오류보정된 양자컴퓨터를 사용해 양자장론을 직접 시뮬레이션하는 것. 일부 경우에서는 부호 문제를 완전히 제거할 수 있음을 보여주며, 다른 경우에서는 개선이 제한됨을 밝히고, 양자 chromodynamics를 시뮬레이션하기 위한 정밀한 양자 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

Monte Carlo calculations in the framework of lattice field theory provide non- perturbative access to the equilibrium physics of quantum fields. When applied to certain fermionic systems, or to the calculation of out-of-equilibrium physics, these methods encounter the so-called sign problem, and computational resource require- ments become impractically large. These difficulties prevent the calculation from first principles of the equation of state of quantum chromodynamics, as well as the computation of transport coefficients in quantum field theories, among other things. This thesis details two methods for mitigating or avoiding the sign problem. First, via the complexification of the field variables and the application of Cauchy’s integral theorem, the difficulty of the sign problem can be changed. This requires searching for a suitable contour of integration. Several methods of finding such a contour are discussed, as well as the procedure for integrating on it. Two notable examples are highlighted: in one case, a contour exists which entirely removes the sign problem, and in another, there is provably no contour available to improve the sign problem by more than a (parametrically) small amount. As an alternative, physical simulations can be performed with the aid of a quantum computer. The formal elements underlying a quantum computation — that is, a Hilbert space, unitary operators acting on it, and Hermitian observables to be measured — can be matched to those of a quantum field theory. In this way an error-corrected quantum computer may be made to serve as a well controlled laboratory. Precise algorithms for this task are presented, specifically in the context of quantum chromodynamics.

연구 동기 및 목표

• 양자장론의 격자장론에서의 부호 문제를 해결함으로써 페르미온계의 비추상적 계산과 평형 외 동역학을 방해하는 문제를 해결하고자 한다.
• 장 변수의 복소화와 경로 변형이 부호 문제를 완화하거나 제거할 수 있는지 탐구하고자 한다.
• 오류보정된 양자컴퓨터에서 양자 chromodynamics를 시뮬레이션하기 위한 정밀한 양자 알고리즘을 개발하고자 한다.
• 양자장론의 구조와 양자계산의 형식적 요소 사이의 공식적 대응 관계를 수립하고자 한다.
• 경로 기반의 부호 문제 완화의 한계를 규명하고, 특히 개선이 증명적으로 최소한인 경우를 포함하여 분석하고자 한다.

제안 방법

• 경로 적분 표현에서 장 변수를 복소수로 확장하여 복소 평면에서 경로 변형을 가능하게 한다.
• 코시의 적분정리를 적용하여 적분 경로를 이동시켜 위상 변동을 감소시키거나 제거한다.
• 복소화된 경로에 대한 적분을 위한 수치적 절차를 개발하며, 적절한 경로를 찾는 방법을 포함한다.
• 부호 문제를 완전히 제거할 수 있는 경로가 존재하는 경우와, 개선이 제한되는 경우를 식별한다.
• 양자장론의 형식적 구조 — 힐베르트 공간, 유니터리 진화, 관측 가능량 — 을 양자계산의 프레임워크에 매핑한다.
• 고장내성 양자컴퓨터에서 양자 chromodynamics를 시뮬레이션하기 위해 특화된 정밀한 양자 알고리즘을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일부 페르미온 양자장론에서 복소화된 장 공간에서의 경로 변형을 통해 부호 문제가 완전히 제거될 수 있는가?
• RQ2 부호 문제가 제거되는 경로가 존재하는 수학적 및 계산 조건은 무엇인가?
• RQ3 완전히 제거할 수 있는 경로가 존재하지 않는 경우, 부호 문제는 어느 정도까지 완화될 수 있는가?
• RQ4 양자장론의 형식적 구조를 시뮬레이션 목적을 위해 양자컴퓨터의 연산에 어떻게 매핑할 수 있는가?
• RQ5 오류보정된 양자컴퓨터에서 양자 chromodynamics를 시뮬레이션하기 위해 필요한 정밀한 양자 알고리즘은 무엇인가?

주요 결과

• 일부 모델에서는 적절한 복소화된 경로가 존재하여 부호 문제를 완전히 제거할 수 있으며, 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 다른 일부 모델에서는 경로 변형을 통해 달성할 수 있는 개선이 (매개변수적으로) 작은 감소에 국한됨이 증명된다.
• 코시의 적분정리를 적용함으로써 부호 문제를 경로 찾기 문제로 전환하는 엄밀한 프레임워크를 제공한다.
• 양자컴퓨터는 힐베르트 공간, 유니터리 진화, 에르미트 관측 가능량을 매칭시킴으로써 양자장론에 공식적으로 매핑될 수 있다.
• 오류보정된 양자 하드웨어에서 양자 chromodynamics를 시뮬레이션할 수 있도록 정밀한 양자 알고리즘을 개발하였다.
• 이 연구는 양자장론에서 상태방정식과 운반 계수의 제1원리적 계산을 위한 기초를 마련하였다.