[논문 리뷰] Simple reduced $L^p$ operator crossed products with unique trace

Sanaz Pooya, Shirin Hejazian|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ p \in (1,\infty) $이면, $ G $가 가чёт수 파워스 군이고, $ A $가 단위원소를 가진 $ G $-단순한 $ L^p $ 연산자 대수이며, 작용이 등장적이고 비퇴화된 경우, 감소형 $ L^p $ 연산자 외적곱 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $가 단순하고 유일한 정규화된 추적을 갖는다고 규명한다. 이 결과는 파워스의 $ C^* $-대수 단순성 및 추적 유일성 결과를 $ L^p $ 설정으로 확장하며, $ L^p $와 $ L^q $ 공간 간의 쌍대성과 조건부 기대를 이용한다.

ABSTRACT

In this article we study simplicity and traces of reduced $L^p$ operator crossed products $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$. Given $p \in (1, \infty)$, let $G$ be a Powers group, and let $α\colon G o Aut(A)$ be an isometric action of $G$ on a unital $L^p$ operator algebra $A$ such that $A$ is $G$-simple. We prove that the reduced $L^p$ operator crossed product of $A$ by $G$, $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$, is simple. Moreover, we show that traces on $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$ are in correspondence with $G$-invariant traces on A. Our results generalize the results obtained by de la Harpe for reduced $C^*$crossed products in 1985. By letting $G$ be a countable nonabelian free group as a special case, we recover an analogue of a result of Powers from 1975. For the case $p = 1$, it turns out that (reduced) $L^p$ operator group algebras are not simple.

연구 동기 및 목표

• de la Harpe와 Skandalis의 $ C^* $-대수 외적곱 결과를 $ p \in (1,\infty) $인 $ L^p $ 연산자 대수 설정으로 일반화하기.
• 가령 $ G $-단순성, $ A $의 단위원소 성질, 그리고 등장적 $ G $-작용 조건 하에서 감소형 $ L^p $ 연산자 외적곱 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $의 단순성을 확립하기.
• 표준 조건부 기대 $ E $를 통한 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 상의 추적들을 $ A $ 상의 $ G $-불변 추적의 역상으로 특성화하기.
• 가чёт수 파워스 군의 감소형 $ L^p $ 군 대수 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $가 단순하고 유일한 정규화된 추적을 갖는다는 것을 보여주기.
• 결과가 $ p = 1 $일 때 성립하지 않음을 입증하여, 프레임워크 내에서 $ p > 1 $의 필요성을 강조하기.

제안 방법

• 공액 지수 $ p, q \in (1,\infty) $에 대해 $ L^p $와 $ L^q $ 공간 간의 쌍대성을 사용하여 $ L^p $-공간에서의 수직 투영이 없음을 보완하기.
• 표준 조건부 기대 $ E: F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) \to A $의 적용으로, 외적곱 내에서 원소의 $ e $-성분으로 사영한다.
• 모든 비자명한 아이디얼 $ I $에 대해 $ E(a) = 1_A $인 원소 $ a \in I $를 구성하기 위해 $ A $의 $ G $-단순성과 compactly supported 함수의 밀도를 활용한다.
• 평균 에르고딕 정리 유사 추론: $ u_{h_j} a u_{h_j}^{-1} $의 평균을 취해 항등원에 수렴시키며, 아이디얼 내에서의 가역성을 보여준다.
• $ G $-불변 추적 $ \sigma $가 $ \sigma \mapsto \sigma \circ E $를 통해 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 상의 추적을 유도하고, 공액에 대한 추적 불변성을 통해 역방향도 증명한다.
• 조건부 기대를 이용해 외적곱 상의 추적과 기저 대수 $ A $ 상의 추적을 연결하여 자연스러운 전단사 관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $ p \in (1,\infty) $에 대해 감소형 $ L^p $ 연산자 외적곱 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $가 단순해지는가?
• RQ2 외적곱 상의 추적들은 $ A $ 상의 $ G $-불변 추적과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $ A $가 유일한 정규화된 추적을 가질 때, $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 상의 정규화된 추적의 유일성은 성립하는가?
• RQ4 $ p = 1 $일 때 단순성 결과가 실패하는 이유는 무엇인가, 즉 가чёт수 파워스 군이라도 성립하지 않는가?
• RQ5 파워스의 $ C^* $-대수의 단순성 및 추적 유일성 결과는 어느 정도까지 $ L^p $ 연산자 대수 프레임워크로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ p \in (1,\infty) $에 대해, $ G $가 가чёт수 파워스 군이고, $ A $가 단위원소를 가지며 $ G $-단순하며, $ (G,A,\alpha) $가 분리 가능하고 비퇴화적으로 표현 가능한 등장적 $ G $-$ L^p $ 연산자 대수일 경우, 감소형 $ L^p $ 연산자 외적곱 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $는 단순하다.
• 외적곱 상의 추적들은 표준 조건부 기대 $ E $를 통해 $ A $ 상의 $ G $-불변 추적과 자연스러운 전단사 관계를 이룬다: $ \tau = \sigma \circ E $.
• 만약 $ A $가 유일한 정규화된 추적을 가진다면, $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 역시 유일한 정규화된 추적을 갖는다.
• 가чёт수 파워스 군 $ G $의 감소형 $ L^p $ 군 대수 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $는 $ p \in (1,\infty) $일 때 단순하고 유일한 정규화된 추적을 갖는다.
• $ p = 1 $일 경우 결과는 성립하지 않는다: 모든 가чёт수离산 군 $ G $에 대해 $ F^1_{\mathrm{r}}(G) $와 $ F^1(G) $는 단순하지 않다. 이는 자명한 준동형사상 $ \mathbb{C} $로의 존재를 통해 비자명한 아이디얼이 존재함을 보여준다.
• $ A $의 단위원소 성질은 필수적이다. 비단위원소인 $ L^p $ 연산자 대수의 경우, $ p=2 $의 경우에도 결과가 성립하지 않는다.