[논문 리뷰] Simultaneous Deformations of Lie Algebroids and Lie Subalgebroids

Xiang Ji|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 18.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리 대수다발과 그 리 부분다발의 변형을 각각 다스리는 두 개의 $L_{\infty}$-대수를 구성하고, 이를 하나의 $L_{\infty}$-대수로 통합하여 동시 변형을 제어한다. 핵심 기여는 고차 유도 브라켓과 모어저-카르탕 원소를 이용한 리 대수다발과 그 부분다발에 대한 통합된 변형 이론을 수립한 것으로, 고전적 리 대수의 변형 이론을 일반화하고 분할, 복소 구조, 리 대수다발 준동형사상 등으로 확장한다.

ABSTRACT

The $L_\infty$-algebra is an algebraic structure suitable for describing deformation problems. In this paper we construct one $L_\infty$-algebra, which turns out to be a differential graded Lie algebra, to control the deformations of Lie algebroids and a second one to control the deformations of Lie subalgebroids. We also combine these two $L_\infty$-algebras into one to control the simultaneous deformations of a Lie algebroid and its Lie subalgebroids. The results generalize the deformation theory of Lie algebra and Lie subalgebras. Applications of our results include deformations of foliations, deformations of complex structures and deformations of homomorphisms of Lie algebroids.

연구 동기 및 목표

• 리 대수다발의 변형 이론을 $L_{\infty}$-대수를 사용하여 수립하고, 고전적 DGLA 방법을 일반화한다.
• 고정된 리 대수다발 내부의 리 부분다발의 변형을 다스리는 별도의 $L_{\infty}$-대수를 구성한다.
• 두 변형 문제를 동시에 제어할 수 있는 단일 $L_{\infty}$-대수 프레임워크로 통합한다.
• 이 프레임워크를 분할, 복소 부분다발, 리 대수다발 준동형사상과 같은 기하학적 구조에 적용한다.
• 초기 기하학적 변형 문제인 리 대수 준동형사상의 변형 이론을 슈퍼기하학적 기법과 유도 브라켓을 활용해 복구하고 확장한다.

제안 방법

• T. 보로노프의 방법을 사용하여, 그레이드 벡터 공간 위에서 고차 유도 브라켓을 통해 $L_{\infty}$-대수를 구성한다.
• $\mathfrak{X}((A\oplus B)[1])$ 위에 미분 기저 리 대수(DGLA)를 정의하여, 모어저-카르탕 방정식을 통해 리 대수다발의 변형을 다스린다.
• 이와 동일한 프레임워크를 정규화된 복합체 $NS$ 및 부분다발 $E = \operatorname{gr}(\Psi)$에 적용하여 리 부분다발의 변형을 제어한다.
• V-대수 구조와 평탄한 $L_{\infty}[1]$-대수 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$를 도입하여 준동형사상의 변형 데이터를 표현한다.
• 리 대수다발 준동형사상과 $A \oplus B$ 내의 그래프로서의 리 부분다발 간의 대응을 이용하여 문제를 부분다발 변형 문제로 환원한다.
• 구성된 $L_{\infty}$-대수 내의 변형과 모어저-카르탕 원소 간의 대응을 활용하여 변형의 동치류를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수다발의 변형 이론은 어떻게 $L_{\infty}$-대수를 통해 기술할 수 있는가?
• RQ2 고정된 리 대수다발 내부의 리 부분다발의 변형을 다스리는 $L_{\infty}$-대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 리 대수다발과 그 리 부분다발의 동시 변형은 어떻게 대수적으로 제어할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 분할과 복소 구조와 같은 고전적 기하학적 변형 문제에 적용될 수 있는가?
• RQ5 리 대수다발 준동형사상의 변형은 소스, 타겟, 그리고 준동형사상 자체의 동시 변형과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 리 대수다발의 변형을 다스리는 $L_{\infty}$-대수는 미분 기저 리 대수와 동형이며, 일반적인 $L_{\infty}$-대수에 비해 구조가 단순화된다.
• 리 부분다발 $E \subset A$의 변형은 정규화된 복합체와 포함의 그래프에서 유도된 평탄한 $L_{\infty}[1]$-대수 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$에 의해 제어된다.
• 패킷 맵 $\tilde{\Psi}: A \to B$는 유일하게 그에 대응하는 벡터장 $X_{\sigma,\phi} = h(\tilde{\Psi})$가 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$ 내의 모어저-카르탕 원소일 때, 리 대수다발 준동형사상 $\Psi$의 변형이 된다.
• 리 대수다발 $A$, $B$의 기하학적 구조와 준동형사상 $\Psi: A \to B$의 동시 변형은 $L_{\infty}[1]$-대수 $((\mathfrak{X}(A\oplus B)[1])[1] \oplus \mathfrak{a})_{X_Q}^{P_{I(X_{\sigma,\phi})}}$에 의해 지배된다.
• 만일 $X_Q^2$가 정규화된 복합체의 섬유를 따라 해석적일 경우, $L_{\infty}[1]$-대수 $\mathfrak{a}_{X_Q}^P$는 리 대수다발 준동형사상 $\Psi$의 변형을 지배한다.
• 결과들은 [22]에서 알려진 리 대수 준동형사상의 변형 이론을 복구하고 일반화하며, 알제브로이드가 리 대수로 분해될 경우 특수한 경우에서도 일관성을 보인다.