[논문 리뷰] Simultaneously recovering potentials and embedded obstacles for anisotropic fractional Schrödinger operators

Xinlin Cao, Yi‐Hsuan Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 04.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 외부에서의 단일 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 측정을 통해 비등방성 분수 슈뢰딩거 연산자에서 임베디드 장애물과 그 주변 퍼텐셜을 동시에 유일하게 복원하는 최초의 결과를 확립한다. 주요 기여는 장애물이 퍼텐셜과 무관하게 한 번의 측정으로도 유일하게 복원 가능하다는 것을 증명한 것이며, 다중 측정을 통해 퍼텐셜이 유일하게 결정됨을 보여주어 국소적 경우(s=1)에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 비국소 분석 도구를 통해 해결한다.

ABSTRACT

Let $A\in\mathrm{Sym}(n imes n)$ be an elliptic 2-tensor. Consider the anisotropic fractional Schrödinger operator $\mathscr{L}_A^s+q$, where $\mathscr{L}_A^s:=(- abla\cdot(A(x) abla))^s$, $s\in (0, 1)$ and $q\in L^\infty$. We are concerned with the simultaneous recovery of $q$ and possibly embedded soft or hard obstacles inside $q$ by the exterior Dirichlet-to-Neumann (DtN) map outside a bounded domain $Ω$ associated with $\mathscr{L}_A^s+q$. It is shown that a single measurement can uniquely determine the embedded obstacle, independent of the surrounding potential $q$. If multiple measurements are allowed, then the surrounding potential $q$ can also be uniquely recovered. These are surprising findings since in the local case, namely $s=1$, both the obstacle recovery by a single measurement and the simultaneous recovery of the surrounding potential by multiple measurements are longstanding problems and still remain open in the literature. Our argument for the nonlocal inverse problem is mainly based on the strong uniqueness property and Runge approximation property for anisotropic fractional Schrödinger operators.

연구 동기 및 목표

• 비국소 슈뢰딩거 연산자에서 임베디드 장애물과 주변 퍼텐셜을 동시에 유일하게 복원하는 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하기 위해.
• 외부에서의 단일 측정만으로도 임베디드 장애물이 주변 퍼텐셜과 무관하게 유일하게 결정됨을 확립하기 위해.
• 다중 외부 측정을 통해 $ L^\infty $ 범주에 속하는 주변 퍼텐셜 $ q \in L^\infty $ 가 유일하게 복원됨을 증명하여 국소적 경우를 초월한 결과를 확장하기 위해.
• 임베디드 장애물이 있는 비국소 역문제를 해결하기 위한 강한 유일성과 룬게 근사에 기반한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 국소적 경우(s=1)에서 아직 해결되지 않은 상태인 비등방성 분수 설정에서의 동시 복원 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 비등방성 분수 슈뢰딩거 연산자의 강한 유일성 성질을 활용하여, 영이 되는 해가 도메인 전체로 전파됨을 보장한다.
• Runge 근사 성질을 적용하여 $ L^2 $ 에서 조밀한 범위를 갖는 해를 구성함으로써, 역문제에서의 조밀성 추론을 가능하게 한다.
• 비국소 방정식의 약한 형태로부터 유도된 적분 항등식을 적용하여 DtN 사상과 퍼텐셜, 장애물 간의 관계를 규명한다.
• 비국소 연산자 $ \mathscr{L}_A^s $ 를 통해 정의된 단일 외부 측정으로 Dirichlet-to-Neumann 사상 $ \Lambda_{D,q} $ 를 사용한다.
• 해의 수열이 $ L^2 $ 에서 수렴함에 따라 임의의 $ L^2 $ 함수를 시험함으로써 조밀성 기반의 유일성 증명을 가능하게 하는 극한 추론 기법을 구현한다.
• 고유값 조건 (1.3) 하에서 비국소 문제의 잘 정의됨을 보장함으로써 약한 해의 존재성과 유일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등방성 분수 슈뢰딩거 연산자에서 외부에서의 단일 측정만으로도 주변 퍼텐셜과 무관하게 임베디드 장애물이 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 임베디드 장애물이 존재하는 조건에서 다중 외부 측정을 통해 주변 퍼텐셜 $ q \in L^\infty $ 가 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ3 분수 연산자의 비국소성은 국소적 경우(s=1)에서 여전히 미해결인 문제들에 비해 더 강력한 유일성 결과를 가능하게 하는가?
• RQ4 강한 유일성과 Runge 근사 성질은 비국소 PDE에서 동시 역문제를 해결하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 확산 텐서 $ A(x) $ 의 비등방성은 장애물과 퍼텐셜 복원의 유일성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임베디드 장애물 $ D $ 는 주변 퍼텐셜 $ q $ 와 무관하게 단일 외부 Dirichlet-to-Neumann 측정을 통해 유일하게 복원 가능하며, 이는 정리 1.1에서 입증되었다.
• 다중 외부 측정을 통해 $ q \in L^\infty(\Omega \setminus \overline{D}) $ 가 유일하게 결정됨을 증명하였으며, 이는 정리 1.2 및 정리 5.1에서 확인되었다.
• 해의 수열이 $ L^2 $ 에서 수렴하는 극한 추론 기법을 통해 $ q $ 의 유일성이 확립되었으며, 이는 조밀한 시험 함수의 사용을 가능하게 한다.
• 강한 유일성 성질은 외부의 열린 영역에서 해가 0이면 전체적으로 0이 되어야 하며, 이는 유일성 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• Runge 근사 성질은 내부에서의 행동이 사전에 지정된 해를 구성할 수 있게 하며, 이는 $ q $ 의 유일성 증명에 필수적이다.
• 결과는 부드럽거나 딱딱한 장애물 조건에 대해 안정적이며, 경계 조건 $ \mathcal{B}u=0 $ 가 핵심 유일성 추론에 영향을 주지 않는다.