[논문 리뷰] Singular Hochschild cohomology and algebraic string operations

Manuel Rivera, Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 11.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호크실드 사슬과 코사슬을 조합한 이중 복합체의 무한 전체화로, 페로니우스 구조를 통해 연결된 타이트-호크실드 복합체를 제안한다. 이 복합체가 특수 호크실드 코homology를 계산하며, $A_\infty$-대수 및 $L_\infty$-대수의 구조를 지니며, 코homology가 바탈린-빌코비치 대수를 이루고, 콘스의 경계 연산자를 확장하는 BV 연산자를 가짐을 보인다.

ABSTRACT

Given a differential graded (dg) symmetric Frobenius algebra $A$ we construct an unbounded complex $\mathcal{D}^{*}(A,A)$, called the Tate-Hochschild complex, which arises as a totalization of a double complex having Hochschild chains as negative columns and Hochschild cochains as non-negative columns. We prove that the complex $\mathcal{D}^*(A,A)$ computes the singular Hochschild cohomology of $A$. We construct a cyclic (or Calabi-Yau) $A$-infinity algebra structure, which extends the classical Hochschild cup and cap products, and an $L$-infinity algebra structure extending the classical Gerstenhaber bracket, on $\mathcal{D}^*(A,A)$. Moreover, we prove that the cohomology algebra $H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra with BV operator extending Connes' boundary operator. Finally, we show that if two Frobenius algebras are quasi-isomorphic as dg algebras then their Tate-Hochschild cohomologies are isomorphic and we use this invariance result to relate the Tate-Hochschild complex to string topology.

연구 동기 및 목표

• dg 대칭 페로니우스 대수에 대해 특수 호크실드 코homology를 계산하는 새로운 무한 복합체인 타이트-호크실드 복합체를 정의한다.
• 클래식한 호크실드 연산—컵, 캡, 게르스텐하버 괄호—를 dg 대칭 페로니우스 대수에서 체인 수준의 고차 대수적 구조로 확장한다.
• 타이트-호크실드 복합체의 코homology가 바탈린-빌코비치 대수의 구조를 지니며, BV 연산자가 콘스의 경계 연산자를 확장함을 보인다.
• 특수 호크실드 코homology가 quasi-isomorphism에 대해 불변임을 확립하여 스트링 토폴로지와의 연결 고리를 가능하게 한다.

제안 방법

• 호크실드 사슬을 음수 차수에, 코사슬을 비음수 차수에 두어 구성된 이중 복합체의 전체화로 타이트-호크실드 복합체 $\mathcal{D}^{*}(A,A)$를 구성한다.
• 페로니우스 쌍대화를 사용하여 연결 사상 $\gamma: \mathcal{D}^{-1,*}(A,A) \to \mathcal{D}^{0,*}(A,A)$를 정의하며, 이는 코프로덕트 $\Delta$, 곱 연산 $\mu$, 브라딩 $T$를 포함하여 사슬과 코사슬을 연결한다.
• 음수 차수의 열들을 $1-k$만큼 이동시켜 총 미분이 차수 $+1$이 되도록 하여 잘 정의된 무한 이중 복합체를 형성한다.
• 특수 호크실드 코hom로의 결합 대수적 구조를 $A_\infty$-대수의 구조로 $\mathcal{D}^{*}(A,A)$에 옮기며, 컵 및 캡 곱을 확장한다.
• 페로니우스 구조에서 유도된 고차 연산을 사용하여 게르스텐하버 괄호를 확장하는 $L_\infty$-대수의 구조를 구성한다.
• 코homology $H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$가 콘스의 경계 연산자를 확장하는 BV 연산자를 지닌 바탈린-빌코비치 대수임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 호크실드 코homology는 호크실드 사슬과 코사슬을 통합하는 단일 무한 복합체를 통해 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 dg 대칭 페로니우스 대수에서 클래식한 호크실드 컵 및 캡 곱은 체인 수준에서 고차 대수적 구조로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 특수 호크실드 복합체의 코homology는 바탈린-빌코비치 대수의 구조를 지닐까? 만약 그렇다면, BV 연산자는 콘스의 경계 연산자와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 특수 호크실드 코homology는 dg 대수의 quasi-isomorphism에 대해 어느 정도 불변이며, 이는 스트링 토폴로지와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 호크실드 사슬과 코사슬을 포함하는 이중 복합체의 전체화로 구성된 타이트-호크실드 복합체 $\mathcal{D}^{*}(A,A)$는 dg 대칭 페로니우스 대수 $A$의 특수 호크실드 코homology를 계산한다.
• $\mathcal{D}^{*}(A,A)$는 체인 수준에서 호크실드 컵 및 캡 곱을 확장하는 자연스러운 $A_\infty$-대수의 구조를 지닌다.
• $\mathcal{D}^{*}(A,A)$ 위에 고전적인 게르스텐하버 괄호를 확장하는 $L_\infty$-대수의 구조를 구성하였다.
• $H^*(\mathcal{D}^{*}(A,A))$의 코homology 대수는 바탈린-빌코비치 대수이며, BV 연산자가 콘스의 경계 연산자를 확장한다.
• $A_n = C^*(S^n)$인 경우, 특수 호크실드 코homology는 $\mathbb{K}[x,x^{-1}] \otimes \Lambda[t]$와 동형이며, $|x| = 2(n-1)$, $|t| = 1$이며, BV 작용은 $\widetilde{\Delta}(x^p \otimes t) = (2p+1)x^p \otimes 1$로 주어진다.
• 특수 호크실드 코homology는 dg 대수의 quasi-isomorphism에 대해 불변이며, 단순 연결 다각형에 대해 $H^*(LM)$을 통해 스트링 토폴로지와 연결될 수 있다.