[논문 리뷰] Singular Hochschild Cohomology and Gerstenhaber Algebra Structure

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 02.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 환의 외부 대칭 대수의 특이 범주에서의 사상으로서 특이 Hochschild 코homology를 정의하며, Gerstenhaber 대수 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 대칭 대수의 경우, 이는 고전적 Hochschild 코호모로지 결과를 특이 및 음의 차수로 일반화하는 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수 구조를 추가로 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we define the singular Hochschild cohomology groups $HH_{sg}^i(A, A)$ of an associative $k$-algebra $A$ as morphisms from $A$ to $A[i]$ in the singular category $D_{sg}(A\otimes_k A^{op})$ for $i\in \mathbb{Z}$. We prove that $HH_{sg}^*(A, A)$ has a Gerstenhaber algebra structure and in the case of a symmetric algebra $A$, $HH_{sg}^*(A, A)$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra.

연구 동기 및 목표

• 외부 대칭 대수의 특이 범주에서의 사상으로서 특이 Hochschild 코호모로지 군을 정의한다.
• 모든 아소시아티브 $k$-대수 $A$에 대해, $A$가 $k$-모듈로서 프로젝티브일 때, 특이 Hochschild 코호모로지에 Gerstenhaber 대수 구조를 확립한다.
• 대칭 대수의 경우, 특이 Hochschild 코호모로지가 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수 구조를 지닌다는 것을 증명한다.
• 자기-내재적 경우에서 특이 Hochschild 코호모로지가 타테 코호모로지 및 안정 코호모로지와 어떻게 관련되는지 규명한다.
• Connes의 B-연산자와 $\Delta$-연산자를 사용하여 BV 구조를 음의 및 영차수 성분으로 확장한다.

제안 방법

• 모든 $i \in \mathbb{Z}$에 대해 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{i}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A) := \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits_{\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})}(A, A[i])$로 특이 Hochschild 코호모로지를 정의한다.
• 유한 차수의 유도 범주에서 완전 복합체를 몫으로 취한 베르디에르 몫으로서 특이 범주 $\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})$를 이용한다.
• 특이 범주 내의 Yoneda 합성으로부터 Gerstenhaber 괄호와 컵 곱을 구성한다.
• 대칭 대수의 경우, 음의 차수에서는 Connes의 B-연산자로, 양의 차수에서는 $\Delta$-연산자로 정의된 BV 연산자 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$를 정의하며, 영차수에서는 0이 된다.
• 괄호와 $\mu^*$-사상이 포함된 핵심 도형의 교환성을 증명하여 BV 공리계를 확인한다.
• 식 $\{f, \alpha\} = (-1)^m \Delta(f) \cap \alpha + f \cap B(\alpha)$를 사용하여 BV 구조를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 Hochschild 코호모로지가 Gerstenhaber 대수 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 Hochschild 코호모로지의 BV 대수 구조가 대칭 대수의 특이 코호모로지로 확장될 수 있는가?
• RQ3 자기-내재적 경우에서 특이 Hochschild 코호모로지는 타테 코호모로지 및 안정 코호모로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 BV 연산자 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$는 음의, 영, 양의 차수 성분에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 대수 $A$가 대칭일 때 특이 Hochschild 코호모로지는 BV 대수인가? 그리고 BV 연산자는 어떻게 실현되는가?

주요 결과

• 모든 아소시아티브 $k$-대수 $A$에 대해, $A$가 $k$-모듈로서 프로젝티브일 때, 특이 Hochschild 코호모로지 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$는 Gerstenhaber 대수이다.
• 대칭 대수의 경우, $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$는 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$가 음의 차수에서는 Connes의 B-연산자로, 양의 차수에서는 $\Delta$-연산자로 정의되는 Batalin-Vilkovisky 대수이다.
• $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$는 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{0}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$에서 0이 되며, 이는 BV 공리계와의 호환성을 보장한다.
• 자기-내재적 대수의 경우 특이 Hochschild 코호모로지가 타테-Hochschild 코호모로지 및 안정-Hochschild 코호모로지와 일치한다.
• 순환 코호모로지 $\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)$는 하위 차수 2의 그레이드 리 대수이며, $\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)[-1]$이 BV 구조로부터 유도된 리 괄호를 가진다.
• 괄호 $\{f, \alpha\}$는 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{-1}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$로 사상되며, $\mu^*$에 의한 영상은 0이 되어 BV 구조가 확인된다.