[논문 리뷰] Singular traces, dimensions, and Novikov-Shubin invariants

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|1999. 07. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 |D|⁻ᵈ의 특이 추적을 통해 비가환 기하학에서 차원 d를 기하측도론적 정의함으로써, |D|⁻¹의 고유값의 다항식 감쇠률이 d를 유일하게 결정함을 보여준다. 또한 커버링 다양체에서의 노비코프-슐빈 불변량 αₚ가 0에서 Δₚ⁻¹/²의 다항식 차수의 역수와 일치함을 증명하며, 이를 특이 추적 가능성과 연결하고, 로그 추적에 실패할 경우에도 비자명한 통합 절차를 제공한다.

ABSTRACT

In Alain Connes noncommutative geometry, the question of the existence of a non-trivial integral can be described in terms of the singular traceability of the compact operator |D|^(-d), D being the Dirac operator, namely of the existence of a finite non-trivial singular trace on the ideal generated by |D|^(-d). A condition on the non triviality of the Dixmier logarithmic trace on the above mentioned ideal has been given by Connes in terms of the cohomological dimension of the Chern character of the phase of D. In this paper we show that, under suitable regularity conditions on the eigenvalue sequence of |D|, the dimension d can be uniquely determined by imposing that |D|^(-d) is singularly traceable, thus providing a geometric measure theoretic definition for d. More precisely, defining d as the inverse of the polynomial order of |D|^(-1), the operator |D|^(-d) always produces a singular trace which gives rise to a non-trivial integration procedure, even when the logarithmic trace fails. In the second part of the paper we discuss large scale counterparts of the geometric measure theoretic dimension for the case of covering manifolds. We prove that in the case of the coverings studied by Atiyah, the inverse of the polynomial order at 0 of Delta_p^(-1/2), defined via the Atiyah trace, coincides with the Novikov-Shubin number alpha_p. As a consequence, Novikov- Shubin numbers can be considered as (asymptotic) dimensions in the sense of geometric measure theory, since the corresponding power of Delta_p^(-1/2) produces a singular trace. Generalizations of the mentioned results on covering manifolds to the case of open manifolds with bounded geometry are studied in math/9809040

연구 동기 및 목표

• 콘스의 로그 추적 조건에 종속되지 않는 비가환 기하학에서 |D|⁻ᵈ의 특이 추적 가능성에 의한 차원 d의 정의.
• d를 |D|⁻¹의 고유값 감쇠의 다항식 차수의 역수로 간주하는 기하측도론적 해석.
• 커버링 다원에서의 노비코프-슐빈 불변량을 특이 추적과 연결하여 대규모 기하학으로 차원 개념을 확장.
• 0에서 Δₚ⁻¹/²의 다항식 차수의 역수가 노비코프-슐빈 수 αₚ와 일치함을 보여, αₚ를 점근적 차원으로 규명함.

제안 방법

• d를 |D|⁻¹의 고유값 감쇠의 다항식 차수의 역수로 정의하여 |D|⁻ᵈ의 특이 추적 가능성을 확보.
• 커버링 다원에서의 리졸베이트 Δₚ⁻¹/²의 점근적 행동을 아티야 추적을 통해 정의.
• Δₚ⁻¹/²의 -αₚ⁻¹ 거듭제곱에서의 특이 추적 값이 비자명함을 증명하고, 이를 노비코프-슐빈 불변량과 연결.
• |D|의 고유값 수열에 정규성 조건을 적용하여 특이 추적의 유일성과 유한성을 보장.
• 크로네커 특성과 코homological 차원을 사용하여 추적의 비자명성을 위상적 불변량과 연결.
• math/9809040에서 다루어진 바와 같이, 커버링 다원에서의 결과를 경계가 있는 기하구조를 가진 열린 다원으로 일반화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 기하학에서 차원 d는 로그 추적 조건에 종속되지 않고 특이 추적 가능성에 의해 독립적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 |D|⁻¹의 고유값 감쇠의 다항식 감쇠률의 역수가 |D|⁻ᵈ에 대한 비자명한 특이 추적을 생성하는 데 충분한가?
• RQ3 커버링 다원에서의 노비코프-슐빈 수 αₚ는 0에서 Δₚ⁻¹/²의 다항식 차수의 역수와 일치하는가?
• RQ4 커버링 다원에서의 특이 추적을 사용하여 점근적 기하측도론적 차원을 정의할 수 있는가?
• RQ5 |D|⁻ᵈ의 특이 추적 가능성은 D의 위상의 크로네커 특성의 코homological 차원과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 차원 d는 |D|⁻¹의 고유값 감쇠의 다항식 차수의 역수로 유일하게 결정되며, 이는 |D|⁻ᵈ의 특이 추적 가능성을 보장한다.
• 딕스미어의 로그 추적 값이 0이 되더라도, 제안된 정의 하에 |D|⁻ᵈ의 특이 추적 값은 여전히 비자명하다.
• 아티야의 커버링 다원에서, Δₚ⁻¹/²의 0에서의 다항식 차수의 역수가 노비코프-슐빈 수 αₚ와 일치한다.
• 노비코프-슐빈 수 αₚ는 특이 추적 가능성에 의해 기하측도론에서 점근적 차원으로 규명된다.
• 특이 추적 절차는 로그 추적에 실패할 경우에도 |D|⁻ᵈ에 의해 생성된 아이디얼 위에서 비자명한 통합 방법을 제공한다.
• 결과는 경계가 있는 기하구조를 가진 열린 다원으로 일반화되며, 커버링 공간을 넘어서는 프레임워크를 확장한다.