[논문 리뷰] Singularities of theta divisors and the geometry of A_5

Gavril Farkas, Samuel Grushevsky외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주로 극적 편일 아벨 다양체(ppav)의 테타 분할의 특이점 분석을 통해 모듈리 공간 $Ø_5$ 의 기하학을 연구한다. 프라이姆 사상과 브릴-노에르 이론을 사용하여, 테타 분할에 비보통 이중점 특이점을 가진 ppav 의 집합인 $H \subset \mathcal{A}_5$ 가 두 개의 유리성인 성분을 가지며, 그 차수를 $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$ 로 계산한다. 이는 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 상의 유리 곡선을 통해 명시적인 기하학적 기술을 제공한다. 주요 결과는 $\theta_{mathrm{null}}^4$ 성분이 $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 위의 $\mathbb{P}^5$-_bundle 에서의 일반적으로 유한한 유리 사상으로 유리성임을 증명하는 것이다. 논문은 $H$ 가 $\mathcal{A}_g$ 에서 codimension-2 사이클임을 확립하며, $g=5$ 에서는 $H$ 가 두 개의 유리성인 성분의 합집합이며, $\overline{N_0'}$ 이 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 에서 최소 기울기를 가진다. 또한 $H$ 는 테타 분할에 비보통 이중점 특이점을 가진 ppav 의 닫힘 집합으로 식별되며, $g=4$ 에서는 $\theta_{mathrm{null}}^4 = H$ 라는 집합론적 등식이 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We study the codimension two locus H in A_g consisting of principally polarized abelian varieties whose theta divisor has a singularity that is not an ordinary double point. We compute the class of H in A_g for every g. For g=4, this turns out to be the locus of Jacobians with a vanishing theta-null. For g=5, via the Prym map we show that H in A_5 has two components, both unirational, which we completely describe. This gives a geometric classification of 5-dimensional ppav whose theta-divisor has a quadratic singularity of non-maximal rank. We then determine the slope of the effective cone of A_5 and show that the component N_0' of the Andreotti-Mayer divisor has minimal slope 54/7. Furthermore, the Iitaka dimension of the linear system corresponding to N_0' is submaximal.

연구 동기 및 목표

• 테타 분할에 비보통 이중점 특이점을 가진 주로 극적 편일 아벨 다양체의 집합인 $H$ 의 초월 차수 사이클 $[H] \in CH^2(\mathcal{A}_g)$ 를 계산하는 것.
• 프라이머 사상 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 를 통해 $H \subset \mathcal{A}_5$ 의 기하학을 기술하는 것, 특히 분기 및 반분기 분할의 분석을 통해.
• $\theta_{mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ 가 유리성임을 증명하기 위해, $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 위의 $\mathbb{P}^5$-_bundle 에서 $\mathcal{Q}_5$ (두 개의 사라지는 테타-널을 가진 프라이머 곡선의 집합) 로의 일반적으로 유한한 유리 사상의 구축.
• $\overline{\mathcal{A}_5}$ 의 유효 콧뿔의 기울기를 결정하고, 앤드레오티-메이어 분할의 성분 $\overline{N_0'}$ 이 최소 기울기를 가진다는 것을 보여주는 것.
• 성별 4에서 $\theta_{mathrm{null}}^3 = H$ 의 집합론적 등식을 확립하여, 사라지는 테타-널을 가진 임베디드 곡선의 집합이 $H$ 와 일치함을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 유계 가속 가족 $\phi: \mathcal{X}_g \to \mathcal{A}_g$ 를 사용하며, 테타 분할의 특이점의 집합인 $\mathcal{S} \subset \mathcal{X}_g$ 를 정의하고, 이를 $\mathcal{S}_{mathrm{null}}$, $\mathcal{S}'$, $\mathcal{S}_{mathrm{dec}}$ 로 분해한다.
• 특이점이 비보통 이중점인 ppav 의 집합의 닫힘 $H \subset \mathcal{A}_5$ 를 정의하고, 테타 함수의 헤시안 조건을 사용하여 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 에서의 그 차수를 계산한다.
• 프라이머 사상 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 는 $H$ 를 분기 분할 $\mathcal{Q}$ 와 반분기 분할 $\mathcal{U}$ 와 연결하며, $P^*(N_0') = 2\mathcal{Q} + \mathcal{U}$ 를 만족한다.
• $\mathbb{P}^5$-_bundle 에서 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(3,1)| \times |\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,3)|$ 에서 $\mathcal{Q}_5$ (두 개의 사라지는 테타-널을 가진 프라이머 곡선의 집합) 로의 유리 사상 $\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ 를 구성한다.
• canonical 사상 $\varphi_{(\theta_1,\theta_2)}: C \to \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 의 기하학을 사용하여, $C$ 의 상 $\Gamma$ 가 선형 계열 $|\mathcal{I}^{2}_{R_1 \cdot R_2}(5,5)|$ 에 속하며, Bézout 정리를 적용하여 $R_1, R_2$ 를 $\Gamma$ 에서 재구성함을 보여준다.
• $\mathcal{U}$ 의 유리성으로부터 $\mathcal{Q}_5$ 의 유리성을 유도하며, 사상 $\psi$ 가 일반적으로 유한하고 전방사임을 보여, $\mathcal{Q}_5$ 가 유리성임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테타 분할에 비보통 이중점 특이점을 가진 ppav 의 집합인 $H \subset \mathcal{A}_g$ 가 초월 링 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 에서 어떤 차수를 가지는가?
• RQ2 프라이머 사상 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 는 $H \subset \mathcal{A}_5$ 의 기하학적 구조를 어떻게 기술하는가?
• RQ3 $\theta_{mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ 는 유리성인가? 만약 그렇다면 어떤 기하학적 구성으로 증명되는가?
• RQ4 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 의 유효 콧뿔의 기울기는 얼마이며, 앤드레오티-메이어 분할의 성분 $\overline{N_0'}$ 이 최소 기울기를 가지는가?
• RQ5 $\mathcal{A}_4$ 에서의 집합 $H \subset \mathcal{A}_4$ 는 $\theta_{mathrm{null}}^3$ 과 같으며, 이 등식은 집합론적으로 성립하는가?

주요 결과

• 테타 분할에 비보통 이중점 특이점을 가진 ppav 의 집합인 $H \subset \mathcal{A}_g$ 의 차수는 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 에서 $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$ 로 계산된다.
• 성별 4에서 집합 $H$ 는 $\theta_{mathrm{null}}^3$ 과 집합론적으로 일치하며, 이는 사라지는 테타-널을 가진 임베디드 곡선의 집합과 일치함을 의미한다.
• 성별 5에서 $H \subset \mathcal{A}_5$ 는 두 개의 기약 성분을 가지며, 둘 다 유리성이다. 성분 $\theta_{mathrm{null}}^4$ 는 $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 위의 $\mathbb{P}^5$-_bundle 에서의 일반적으로 유한한 유리 사상으로 유리성임을 증명한다.
• $\overline{\mathcal{A}_5}$ 의 앤드레오티-메이어 분할의 성분 $\overline{N_0'}$ 은 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 의 유효 콧뿔에서 최소 기울기를 가진다.
• 유리 사상 $\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ 는 일반적으로 유한하고 전방사이며, 이는 $\mathcal{Q}_5$ 가 유리성임을 증명하고, 따라서 $\theta_{mathrm{null}}^4 = \overline{P(\mathcal{Q}_5)}$ 도 유리성임을 의미한다.
• $\mathcal{A}_5$ 에서의 집합 $H$ 는 두 개의 유리성인 성분의 합집합이며, $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 상의 유리 곡선을 통한 구성은 $H$ 의 완전한 기하학적 기술을 제공한다.