[논문 리뷰] Skew-monoidal reflection and lifting theorems

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 25.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스케일 모나드 카테고리로 데이 반사 정리(Day Reflection Theorem)를 확장하며, 코모나드에 대한 엘렌버그-무어 대수의 카테고리로 스케일 모나드 구조가 언제나 올라갈 수 있는 조건을 확립한다. 만약 함자 $ L \dashv N $ 가 모든 $ X \in \mathscr{X} $, $ B \in \mathscr{A} $ 에 대해 $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 에 대해 특정한 가역성 조건을 만족한다면, $ \mathscr{A} $ 는 $ L $ 이 정상적 옵모나드일 수 있고 $ \psi_{X,NB} $ 가 가역일 수 있는 유일한 스케일 모나드 구조를 지닌다. 또한 자연적인 조건 하에서 스케일 워핑이 코모나드 코알제브라로 올라간다는 것을 보여주며, 등급이 같은 코모나드의 경우에 대해 코모나드에 의한 올림 결과와 스케일 반사 정리 사이의 비교를 수행한다. 마지막으로, 코일레브라의 카테고리에서의 스케일 모나드 구조가 합집합을 보존하고 완전 충실한 함자를 통한 인수분해를 통해 유도된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The Day Reflection Theorem gives conditions under which a reflective subcategory of a closed monoidal category can be equipped with a closed monoidal structure in such a way that the reflection adjunction becomes a monoidal adjunction. We adapt this result to skew monoidal categories. The beauty of this variant is further evidence that the direction choices involved in the skew notion are important for organizing, and adding depth to, certain mathematical phenomena. We also provide conditions under which a skew monoidal structure can be lifted to the category of Eilenberg-Moore algebras for a comonad.

연구 동기 및 목표

• 스케일 모나드 카테고리의 맥락으로 데이 반사 정리를 일반화하기 위해.
• 코모나드에 대한 엘렌버그-무어 대수의 카테고리로 스케일 모나드 구조가 언제나 올라갈 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 스케일 작용을 포함하는 일반화된 스케일 워핑이 자연적인 조건 하에서 코모나드 코알제브라로 올라갈 수 있음을 보여주기 위해.
• 등급이 같은 코모나드의 경우에 대해 코모나드에 의한 올림 결과와 스케일 반사 정리 사이의 관계를 비교하기 위해.
• 코일레브라의 카테고리에서 유도된 스케일 모나드 구조가 합집합을 보존하고 완전 충실한 함자를 통한 인수분해를 통해 유도된다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스케일 모나드 카테고리로 데이 반사 정리를 적응시키기 위해, 모든 $ X \in \mathscr{X} $, $ B \in \mathscr{A} $ 에 대해 $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 의 가역성 조건을 도입한다.
• 함수 $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ 를 통해 $ \mathscr{A} $ 에서 스케일 모나드 구조를 구성하며, 애드조이너션 $ L \dashv N $ 과 원래의 스케일 모나드 구조를 포함하는 교환 다이어그램을 통해 제약 조건을 정의한다.
• 스케일 작용에 대해 스케일 워핑의 개념을 도입하여 이전의 연구를 일반화한다.
• 스케일 액티게리에 대한 코모나드 $ G $ 의 엘렌버그-무어 카테고리 $ \mathscr{A}^G $ 를 사용하여 스케일 모나드 구조를 올린다.
• 스케일 워핑이 코모나드 구조와 호환될 경우, 忘却 함자 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ 는 단위 제약 조건 $ \varepsilon_I: GI \to I $ 를 갖는 옵모나드로 변환된다.
• 구체적인 예제를 적용하여 $ \mathscr{C} $ 가 객체 집합 $ O $ 를 가지는 카테고리이고, $ \xi: U \to O $ 이라는 함수에 의해 유도된 코모나드 $ G = \xi_! \xi^* $ 를 고려하며, $ \mathrm{Set}/U $ 에서의 올린 구조가 완전 충실한 함자 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $ 에 의해 유도된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 $ L \dashv N $ 와 가역 코유닛을 가진 카테고리 $ \mathscr{X} $ 에서의 스케일 모나드 구조가 카테고리 $ \mathscr{A} $ 로 언제나 올라갈 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스케일 액티게리에 대한 코모나드의 엘렌버그-무어 카테고리로 스케일 모나드 구조는 어떻게 올릴 수 있는가?
• RQ3 스케일 작용이 있는 카테고리에서의 스케일 워핑이 코일레브라의 카테고리로 올라가기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 등급이 같은 코모나드의 경우에 대해, 코모나드를 통한 스케일 모나드 구조 올림 결과와 스케일 반사 정리 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 $ \mathscr{C} $ 가 객체 집합 $ O $ 를 가지며, $ \xi: U \to O $, $ G = \xi_! \xi^* $ 인 경우, $ \mathrm{Set}/U $ 가 코모나드 $ G $ 에 의해 올린 스케일 모나드 구조를 갖는 카테고리의 범주적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $ X \in \mathscr{X} $, $ B \in \mathscr{A} $ 에 대해 $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 가 가역일 때, 그리고 그 구조가 유일한 이소모르피즘을 제외하고는 유일할 때, $ \mathscr{A} $ 는 $ L: \mathscr{X} \to \mathscr{A} $ 가 정상적 옵모나드이고 $ \psi_{X,NB} $ 가 가역일 수 있는 스케일 모나드 구조를 지닌다.
• 올린 스케일 모나드 구조는 $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ 로 주어지며, 애드조이너션과 $ \mathscr{X} $ 의 원래 스케일 모나드 구조를 포함하는 교환 다이어그램을 통해 제약 조건이 정의된다.
• 코모나드 $ G $ 가 스케일 액티게리에 대해 작용하고 스케일 워핑이 코모나드 구조와 호환될 경우, 忘却 함자 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ 는 단위 제약 조건 $ \varepsilon_I: GI \to I $ 를 갖는 옵모나드로 변환된다.
• 등급이 같은 코모나드 $ G $ 의 경우, 올림 결과로 유도된 $ \mathscr{C}^G $ 에서의 스케일 모나드 구조는 스케일 반사 정리에 의해 유도된 것과 일치하며, 두 접근 방식 간의 일관성을 보여준다.
• $ \mathscr{C} $ 가 객체 집합 $ O $ 를 가지며, $ \xi: U \to O $, $ G = \xi_! \xi^* $ 인 경우, $ \mathrm{Set}/U $ 에서의 올린 스케일 모나드 구조는 합집합을 보존하며, $ \mathscr{A} $ 가 객체 집합 $ U $ 를 가지는 완전 충실한 함자 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $ 를 통해 유도된다.