[논문 리뷰] Small-time asymptotics for Gaussian self-similar stochastic volatility models

Archil Gulisashvili, Frédéri Viens외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 자기유사 스토케스틱 볼라티리티 모델에서 자산 가격 밀도, 콜/풋 가격, 그리고 임의의 볼라티리티의 소시간 점근적 성질을 유도한다. 모델에 종속되지 않는 $ H $ 파라미터 추정기법을 수립하며, 이는 $ H $, 첫 번째 카르후넨-뢰브 고유값 및 그 중복도에 명시적인 의존성을 가지며, 근접하지 않는 가격 영역에서의 점근적 분석을 제공한다. 또한 이면에서의 점근적 분석은 통합 변동성의 모멘트를 포함하여, 짧은 만기에서조차도 임의의 볼라티리티 데이터로부터 $ H $의 정확한 校정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the class of self-similar Gaussian stochastic volatility models, and compute the small-time (near-maturity) asymptotics for the corresponding asset price density, the call and put pricing functions, and the implied volatilities. Unlike the well-known model-free behavior for extreme-strike asymptotics, small-time behaviors of the above depend heavily on the model, and require a control of the asset price density which is uniform with respect to the asset price variable, in order to translate into results for call prices and implied volatilities. Away from the money, we express the asymptotics explicitly using the volatility process' self-similarity parameter $H$, its first Karhunen-Loeve eigenvalue at time 1, and the latter's multiplicity. Several model-free estimators for $H$ result. At the money, a separate study is required: the asymptotics for small time depend instead on the integrated variance's moments of orders 1/2 and 3/2, and the estimator for $H$ sees an affine adjustment, while remaining model-free.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 자기유사 스토케스틱 볼라티리티 모델에서 자산 가격 밀도, 옵션 가격, 그리고 임의의 볼라티리티의 소시간 점근적 행동을 분석하는 것.
• 자기유사성 파라미터 $ H $에 대한 명시적이고 모델에 종속되지 않는 추정기법을 개발하며, 자산 가격 밀도에 대한 균일한 제어를 활용하는 것.
• 이면에서와 근접하지 않는 영역의 점근적 영역을 구분하여, 각각 다른 분석 기법이 필요하다는 점을 명시하는 것.
• 특히 유동성이 제한된 짧은 만기에서 시장에서 관측된 임의의 볼라티리티 데이터로부터 $ H $의 정확한 校정을 가능하게 하는 것.
• 수치 시뮬레이션을 통해 점근 공식을 검증하여, 다양한 $ H $ 값과 만기에서 임의의 볼라티리티에 대한 높은 정확도를 입증하는 것.

제안 방법

• 옵션 가격 및 임의의 볼라티리티 결과로의 밀도 점근적 성질 유도에 필수적인, 행사가 $ K $ 에 대해 균일한 제어를 갖는 특수한 라플라스 방법의 변형을 적용하는 것.
• 볼라티리티 과정의 카르후넨-뢰브 전개를 사용하여 점근적 상수를 $ H $, 시간 1에서의 첫 번째 고유값, 그리고 그의 중복도로 표현하는 것.
• 문헌 [35]의 일반적 결과를 활용하여 소시간 점근적 콜 가격 결과를 임의의 볼라티리티 점근적 성질로 변환하는 것.
• 통합 변동성의 $ \frac{1}{2} $ 및 $ \frac{3}{2} $ 차수 모멘트를 사용하여 이면에서의 점근적 표현을 별도로 도출하는 것.
• 옵션 가격 및 임의의 볼라티리티의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 계수를 수치적으로 계산하고 점근 공식의 정확성을 검증하는 것.
• 제11정리에 기반하여 시뮬레이션된 옵션 데이터로부터 $ H $를 校정하며, 다양한 만기 및 $ H $ 값에서의 강건성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 자기유사 스토케스틱 볼라티리티 모델에서 자산 가격 밀도, 콜/풋 가격, 그리고 임의의 볼라티리티의 소시간 점근적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 소시간 영역에서 시장에서 관측된 임의의 볼라티리티 데이터로부터 자기유사성 파라미터 $ H $를 모델에 종속되지 않게 추정할 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 카르후넨-뢰브 고유값과 그의 중복도는 근접하지 않는 영역의 소시간 점근적 상수를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이면에서의 점근적 행동은 근접하지 않는 경우와 어떻게 다를 수 있으며, 이를 지배하는 통합 변동성의 어떤 모멘트가 그 기초가 되는가?
• RQ5 소시간 점근 공식이 실용적인 만기(예: 1~14일)에서 임의의 볼라티리티를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 볼라티리티의 점근적 행동은 자기유사성 파라미터 $ H $에 매우 민감하며, $ H $가 클수록 정확도가 향상된다.
• $ H = 0.51 $일 경우, 2주 이내에서는 상대 오차가 5% 미만이며, 2.3일 이내에서는 1% 미만의 오차를 기록한다.
• 이면에서의 점근적 행동은 통합 변동성의 $ \frac{1}{2} $ 및 $ \frac{3}{2} $ 차수 모멘트에 의존하며, 이는 근접하지 않는 경우와는 다른 분석 기법이 필요하다는 것을 의미한다.
• 모델에 종속되지 않는 $ H $ 추정기법은 $ H $, 첫 번째 카르후넨-뢰브 고유값, 그리고 그의 중복도를 사용하여 명시적으로 도출되며, 이는 시장 데이터로부터의 校정을 가능하게 한다.
• 제11정리를 통해 임의의 볼라티리티를 기반으로 $ H $를 校정할 경우, 14일 이내의 만기에서 상대 오차가 1% 미만이며, $ H $ 추정치의 오차는 극히 미미하게(≤0.01) 유지된다.
• liquidity가 허용하는 한 1일 만기에서도 정확한 $ H $-교정이 가능하며, 대부분의 실용적 응용에 있어 14일 만기로 충분하다.