[논문 리뷰] Soft \beta-Open Sets And Their Applications

Yunus Yumak, Aynur Keskin Kaymakçı|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 25.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소프트 위상공간에서 소프트 β-열린 집합과 소프트 β-닫힌 집합을 도입하고, 소프트 β-연속성, 소프트 β-비어리스절 사상, 소프트 β-위상동형을 정의하며, 모든 소프트 β-비어리스절 전단사 사상의 집합 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 가 합성에 대해 군을 이룬다는 것을 증명한다. 이는 소프트 위상동형 이론을 확장하고 소프트 위상수학에 새로운 구조적 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

First of all, we focused soft {\\beta}-open sets and soft {\\beta}-closed sets over the soft topological space and investigated some properties of them. Secondly, we defined the concepts soft {\\beta}-continuity, soft {\\beta}-irresolute and soft {\\beta}-homeomorphism on soft topological spaces. We also obtained some characterizations of these mappings. Finally, we observed that the collection S{\\beta}r-h(X,{\ au},E) was a soft group.

연구 동기 및 목표

• 소프트 위상공간에서 소프트 β-열린 집합과 소프트 β-닫힌 집합을 정의하고 조사하기.
• 소프트 β-연속성, 소프트 β-비어리스절 사상, 소프트 β-위상동형을 도입하고 특성화하기.
• 모든 소프트 β-비어리스절 전단사 사상의 집합이 합성에 대해 군을 이룬다는 것을 확립하기.
• β-구조를 사용하여 소프트 위상동형 군 개념을 일반화하기.

제안 방법

• 소프트 닫힘의 소프트 내부의 소프트 닫힘에 포함되는 소프트 집합을 소프트 β-열린 집합으로 정의한다.
• 소프트 β-열린 집합의 원상이 소프트 β-열린 집합이 되는 것을 통해 소프트 β-연속성을 도입한다.
• 소프트 β-열린 집합의 원상이 소프트 β-열린 집합이 되는 사상을 소프트 β-비어리스절 사상으로 정의한다.
• 전단사인 소프트 β-비어리스절 사상이면서 그 역사도 소프트 β-비어리스절인 사상을 소프트 β-위상동형으로 정의한다.
• 모든 소프트 β-비어리스절 전단사 사상과 그 소프트 β-비어리스절 역사를 포함하는 집합 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 를 구성한다.
• 합성에 대해 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 가 닫혀 있고 항등원을 포함하며, 역원에 대해서도 닫혀 있음을 증명함으로써 군을 이룬다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소프트 위상공간에서 소프트 β-열린 집합과 소프트 β-닫힌 집합의 성질은 무엇인가?
• RQ2 소프트 위상공간에서 소프트 β-연속성과 소프트 β-비어리스절 사상은 어떻게 정의되고 특성화될 수 있는가?
• RQ3 소프트 위상공간에서 소프트 β-비어리스절 전단사 사상의 집합이 합성과 역원에 대해 닫혀 있으며 군을 이룰 수 있는가?
• RQ4 군 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 는 소프트 위상동형의 군 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 소프트 β-비어리스절 위상동형 사상에 의해 이러한 군들 사이의 동형사상이 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 소프트 위상공간 $ (X,\tau,E) $ 에서 모든 소프트 β-비어리스절 전단사 사상의 집합 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 는 함수 합성에 대해 군을 이룬다.
• 모든 소프트 위상동형은 소프트 β-비어리스절 사상이므로 $ S\text{-}h(X,\tau,E) \subseteq S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 이다.
• 군 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 는 합성과 역원에 대해 닫혀 있으며, 모든 군 공리를 만족한다.
• 소프트 위상동형의 군 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ 는 군 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ 의 부분군이다.
• 모든 소프트 β-비어리스절 위상동형 사상 $ f: (X,\tau,E) \to (Y,\tau',E) $ 에 대해, $ f_*: S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) \to S\beta r\text{-}h(Y,\tau',E) $ 를 코너지에 의해 정의하는 군 동형사상이 존재한다.
• 사상 $ f \mapsto f_* $ 는 함자적이다: $ (g \circ f)_* = g_* \circ f_* $ 이며, $ (1_X)_* = 1 $ 이다. 이는 항등 동형사상이다.