[논문 리뷰] Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of Noncommutative Groups

Demerson Nunes Gonçalves, Renato Portugal|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 홀수 소수 $p$와 $q$ 및 양의 정수 $r,s$ 에 대해 조건 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 하에 비아벨 군 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 에서 숨겨진 부분군 문제(HSP)를 다항시간 양자 알고리즘으로 해결한다. 알고리즘은 아벨 양자 푸리에 변환과 구조화된 측정 절차를 사용하여 HSP를 순환 부분군을 찾는 문제로 감소시키며, 성공 확률이 $1/2$ 초과가 되도록 한다.

ABSTRACT

The hidden subgroup problem (HSP) plays an important role in quantum computation, because many quantum algorithms that are exponentially faster than classical algorithms can be casted in the HSP structure. In this paper, we present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the HSP over the group $\Z_{p^r} times \Z_{q^s}$, when $p^r/q= \up{poly}(\log p^r)$, where $p$, $q$ are any odd prime numbers and $r, s$ are any positive integers. To find the hidden subgroup, our algorithm uses the abelian quantum Fourier transform and a reduction procedure that simplifies the problem to find cyclic subgroups.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 군 클래스 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 에서 숨겨진 부분군 문제(HSP)를 효율적으로 다항시간에 해결함으로써 아벨 및 더 단순한 비아벨 군에 대한 기존 결과를 확장한다.
• 이전의 $\mathbb{Z}_p\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 및 $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_q$ 에서의 HSP에 대한 양자 알고리즘을 고려하여 $p^r$ 과 $q^s$ 의 더 높은 거듭제곱을 允허함으로써 일반화한다.
• 이 군 클래스에서 HSP가 양자 푸리에 변환을 통해 순환 부분군을 찾는 문제로 감소할 수 있는 조건을 설정한다.
• 주어진 매개변수 제약 조건 하에 다항시간 내에 숨겨진 부분군을 식별하는 데 성공 확률이 $1/2$ 초과가 되도록 한다.

제안 방법

• 함수 $f$ 가 부분군을 숨기고 있는 구조를 추출하기 위해 $\mathbb{Z}_{p^r}$ 성분에 아벨 양자 푸리에 변환을 적용한다.
• 비아벨 HSP를 순환 부분군의 순서 $q^t$ (여기서 $t \leq s$) 를 식별하는 문제로 변환하는 감소 절차를 적용한다.
• 측정 이후 제어된 유니터리 연산자 $U$ 를 적용하여 상태를 숨겨진 매개변수 $a$ 와 얽힘 상태로 만들며, $\mathbb{Z}_{q^{t-j}}$ 에서 함수 $S(n)$ 의 단사성을 활용한다.
• 숨겨진 매개변수 $a$ 를 추출하기 위해 $a$ 를 포함하는 상태에 역행의 양자 푸리에 변환을 적용하며, 각 실행에서 확률 $q/p^r$ 으로 추출된다.
• 성공 확률를 $1/2$ 초과로 높이기 위해 알고리즘을 $O(\text{poly}(\log p^r))$ 번 반복한다.
• 군의 구조에 기반하여 $\alpha = u^{k}$ 이며 $k = \frac{lp^{r-1}(p-1)}{q^t}$ 이므로 $\alpha^{q^t} \equiv 1 \pmod{p^r}$ 이며 $\text{ord}(\alpha) = q^t$ 가 되도록 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 하에 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 에서 HSP를 다항시간 양자 알고리즘으로 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 이 군 클래스에서 비아벨 HSP는 어떻게 순환 부분군을 찾는 문제로 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 군이 비아벨일 때 아벨 양자 푸리에 변환은 숨겨진 부분군의 구조를 어떻게 추출하는가?
• RQ4 왜 키 연산자 $U$ 의 비유니터리 행동으로 인해 알고리즘이 $t > 1$ 로 일반화되지 않는가?
• RQ5 이 접근법은 비아벨 푸리에 변환을 사용하여 다른 비아벨 군으로 얼마나 넓히기 가능한가?

주요 결과

• 조건 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 하에 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 에서 HSP는 다항시간 내에 해결 가능하며, 이는 이전의 $r=1$ 또는 $s=1$ 인 경우의 결과를 일반화한다.
• 알고리즘은 순환 부분군의 순서 $q^t$ 를 찾는 문제로 HSP를 감소시키며, $t=1$ 인 경우에만 유니터리 연산자 $U$ 를 구성하여 숨겨진 매개변수 $a$ 를 추출할 수 있다.
• 각 실행에서 정확한 매개변수 $a$ 를 측정할 성공 확률는 $q/p^r$ 이며, $O(\text{poly}(\log p^r))$ 번 반복함으로써 총 성공 확률를 $1/2$ 초과로 높일 수 있다.
• 알고리즘은 비아벨 푸리에 변환을 사용하지 않고 아벨 양자 푸리에 변환과 측정 기반 감소만을 사용하여 목표를 달성한다.
• 이 결과는 Bacon 등 [10] (s=1 인 경우) 와 Gonçalves 등 [11] (r=1 인 경우) 의 이전 작업을 통합하여 하나의 프레임워크로 통합한다.
• $t > 1$ 인 경우 함수 $S(n)$ 의 단사성 부족으로 인해 유니터리 연산자 $U$ 를 구성할 수 없으며, 이로 인해 알고리즘이 $t=1$ 인 경우로 국한된다.