[논문 리뷰] Solutions for a nonlocal elliptic equation involving critical growth and Hardy potential

Chunhua Wang, Jing Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원점이 포함된 유계 영역에서 임계 스오볼레프 성장과 하디 항을 포함하는 비국소 타원형 방정식에 대해 무한히 많은 해의 존재성을 확립한다. 분수 스토퍼프 스페이스 $ H^s_0(Ω) $ 내에서 변분 방법과 근사화 접근을 사용하여, $ N > 6s $ 조건 하에서 하디 계수 $ \mu $ 가 특정 스펙트럼 임계 조건을 만족하고 $ a > 0 $ 이면 문제는 무한히 많은 해를 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, by an approximating argument, we obtain infinitely many solutions for the following Hardy-Sobolev fractional equation with critical growth \begin{equation*}\label{0.1} \left\{% \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u-\ds\frac{μu}{|x|^{2s}}=|u|^{2^*_s-2}u+au, & \hbox{$ ext{in}~ Ω$},\vspace{0.1cm} u=0,\,\, &\hbox{$ ext{on}~\partial Ω$}, \\ \end{array}% ight. \end{equation*} provided $N>6s$, $μ\geq0$, $0< s<1$, $2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$, $a>0$ is a constant and $Ω$ is an open bounded domain in $\R^N$ which contains the origin.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에 원점이 포함된 비국소 타원형 방정식에 대해 임계 스오볼레프 성장과 하디 항을 고려할 때 무한히 많은 해의 존재성을 확립한다.
• 변분 방법의 맥락에서 분수 라플라스 연산자, 하디 항 $ \mu |x|^{-2s} $, 그리고 임계 비선형항 $ |u|^{2^*_s - 2}u $ 간의 상호작용을 분석한다.
• 임계 성장을 포함하고 해의 다중성을 증명함으로써 이전의 하디 항이 있는 분수 라플라스 연산자에 대한 결과를 확장한다.
• 근사해의 점근적 행동을 $ H^s_0(\Omega) $ 내에서 연구하며, 특히 국소화된 프로파일로의 분해를 분석한다.
• 스펙트럼 임계 조건이 하드이 부등식의 타당성과 에너지 함수의 강력성 보장에 기여함을 검증한다.

제안 방법

• 에너지 함수 $ I(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega \left( |(-\Delta)^{s/2}u|^2 - \mu \frac{u^2}{|x|^{2s}} - a u^2 \right) dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega |u|^{2^*_s} dx $ 를 $ H^s_0(\Omega) $ 위에서 사용하여 문제를 변분 프레임워크로 제시한다.
• 정규화된 형태의 방정식을 풀고 극한을 분석하기 위해 $ \epsilon_n \to 0 $ 으로 수렴하는 소멸 파라미터를 도입함으로써 근사화 접근을 시행한다.
• 집중-콤���팩트성 원리와 프로파일 분해를 적용하여 $ H^s_0(\Omega) $ 내의 유계 수열의 점근적 구조를 분석하고, 해를 극한 프로파일과 국소화된 버블로 분해한다.
• 분수 라플라스 연산자 $ (-\Delta)^s $ 의 스펙트럼 정의를 사용하여 영역 $ \Omega $ 에서 라플라스 연산자의 고유함수 전개를 통해 $ H^s_0(\Omega) $ 내에서 잘 정의됨을 보장한다.
• 원점에서의 특이성을 제어하기 위해 최적 상수 $ \bar{\mu} = 2^{2s} \Gamma^2(\frac{N+2s}{4}) / \Gamma^2(\frac{N-2s}{4}) $ 를 포함하는 날카로운 하드이 부등식을 활용한다.
• 확장 문제에서 이동 평면 방법과 포호자에브 유형의 항등식을 적용하여 에너지 항등식을 도출하고 붕괴 분석에서 경계 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하드이 항과 임계 비선형성을 포함하는 분수 타원형 방정식이 무한히 많은 해를 가질 조건은 $ \mu $, $ s $, $ N $ 에 대해 어떤가?
• RQ2 하드이 항 $ \mu |x|^{-2s} $ 는 변분 구조와 팔라이-스미스 수열의 컴팩턴스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 정규화 파arameter $ \epsilon_n \to 0 $ 일 때 근사해의 점근적 프로파일은 어떠한가? 그리고 국소화된 버블로 어떻게 분해되는가?
• RQ4 $ N > 6s $ 일 때, 비자명한 하드이 항이 존재하더라도 방정식에 대응하는 에너지 함수가 무한히 많은 임계점을 지닐 수 있는가?
• RQ5 스펙트럼 임계 조건 $ \frac{2^*_s \sqrt{\bar{\mu}}}{\sqrt{\bar{\mu}} - \sqrt{\bar{\mu} - \mu}} > \frac{2N}{N - 6s} $ 이 다중 해의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 조건 $ N > 6s $, $ \mu \geq 0 $, $ a > 0 $, 그리고 $ \mu $ 가 스펙트럼 임계 조건을 만족할 경우, $ H^s_0(\Omega) $ 내에서 방정식은 무한히 많은 약한 해를 가진다.
• 근사해 $ u_n $ 은 $ u_n = u_0 + \sum_{j=1}^m \rho_{0,\Lambda_{n,j}}(U_j) + \sum_{j=m+1}^h \rho_{x_{n,j},\Lambda_{n,j}}(U_j) + \omega_n $ 로 분해되며, 여기서 $ \omega_n \to 0 $ 이다 $ H^s(\Omega) $ 내에서 수렴하고 $ u_0 $ 는 원래 문제의 해이다.
• 국소화된 프로파일 $ U_j $ 는 다음의 극한 방정식의 해이다: $ j=1,\dots,m $ 에 대해 $ D^s(\mathbb{R}^N) $ 내에서 $ (-\Delta)^s U_j - \mu \frac{U_j}{|x|^{2s}} = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $, $ j=m+1,\dots,h $ 에 대해 $ (-\Delta)^s U_j = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $, 여기서 $ b_j \in (0,1] $ 이다.
• 모든 $ j > m $ 에 대해 농도 중심점 $ x_{n,j} $ 는 $ \Lambda_{n,j} d(x_{n,j}, \partial\Omega) \to \infty $ 과 $ \Lambda_{n,j} |x_{n,j}| \to \infty $ 를 만족하여 경계나 무한대 쪽으로 이탈함을 나타낸다.
• 서로 다른 인덱스 $ i \neq j $ 에 대해 상호 분리 조건 $ \frac{\Lambda_{n,j}}{\Lambda_{n,i}} + \frac{\Lambda_{n,i}}{\Lambda_{n,j}} + \Lambda_{n,j} \Lambda_{n,i} |x_{n,i} - x_{n,j}|^2 \to \infty $ 이 성립하여 극한에서 버블 간의 수직성을 보장한다.
• 에너지 함수는 아래로 유계이며 근사화 수열을 따라 팔라이-스미스 조건을 만족한다. 이는 무한히 많은 해의 존재에 있어 필수적이다.