[논문 리뷰] Solvable model for a dynamical quantum phase transition from fast to slow scrambling

Sumilan Banerjee, Ehud Altman|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|2016. 10. 14.

Theoretical and Computational Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 주변 부위에 2차 페르미온 버스를 연결하여 사치브-예-키타에프(Sachdev-Ye-Kitaev, SYK) 모델의 해석 가능한 확장 모델을 제안한다. 이로 인해 빠른 스캐러밍 비페르미 액체 상(리아풀로프 지수 λ_L = 2πT)에서 느린 스캐러밍 페르미 액체 유사 상(λ_L ∝ T²)으로의 연속적인 양자상전이가 가능해지며, 이는 주변 부위 비율 p가 임계값 p_c를 초과할 때 발생한다. 상전이는 SYK 상호작용의 필터링에 의해 유도되며, 두 상태 모두 대규모 N 근사에서 정확하게 해석 가능하다.

ABSTRACT

We propose an extension of the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model that exhibits a quantum phase transition from the previously identified non-Fermi liquid fixed point to a Fermi liquid like state, while still allowing an exact solution in a suitable large $N$ limit. The extended model involves coupling the interacting $N$-site SYK model to a new set of $pN$ peripheral sites with only quadratic hopping terms between them. The conformal fixed point of the SYK model remains a stable low energy phase below a critical ratio of peripheral sites $pp_c$ the quadratic sites effectively screen the SYK dynamics, leading to a quadratic fixed point in the low temperature and frequency limit. The interactions have a perturbative effect in this regime leading to scrambling with Lyapunov exponent $λ_L\propto T^2$.

연구 동기 및 목표

• 빠른 스캐러밍과 느린 스캐러밍을 특징으로 하는 두 개의 상이한 저에너지 고정점 사이의 연속적인 양자상전이를 실현하는 해석 가능한 모델을 구축하는 것.
• SYK 모델을 2차 페르미온 버스 부위에 연결함으로써 저에너지 행동과 스캐러밍 성질이 어떻게 변화하는지 조사하는 것.
• 빠른 스캐러밍에서 느린 스캐러밍으로의 전이 조건을 규명하고, 전이 영역에서 리아풀로프 지수의 보편적 및 비보편적 행동을 분석하는 것.
• 임계점 p_c에서 잔류 엔트로피의 연속적인 감소와 전이 스케일의 변화를 검토하고, p_c 이하에서 등각 고정점의 안정성을 검증하는 것.

제안 방법

• SYK 모델을 확장하여 M개의 주변 부위를 도입하고, 이들 사이에 2차 힘줄 항(t_αβ)을 도입하며, N개의 SYK 부위와 무작위 힘줄(V_iα)로 연결한다. 여기서 M/N = p이다.
• N → ∞의 대규모 N 근사에서 M = pN로 설정하여, N 및 M에 따라 조정된 계수를 포함하는 해밀토니안 항을 통해 적절한 열역학적 척도를 확보한다.
• 가우시안 분포를 가진 무작위 상호작용(J_ijkl, t_αβ, V_iα)에 대해 불순도 평균을 취해 상관 함수와 자기에너지 함수를 계산하며, O(1/N) 단계에서 래더 다이어그램만 유지한다.
• 리타르드 및 와이트먼 그린 함수의 정확한 스펙트럼 표현을 유도하고, 감마 함수 항등식을 사용하여 리아풀로프 지수에 대한 고유값 방정식을 해결한다.
• 혼돈이 지배하는 영역을 리타르드 및 와이트먼 함수의 스펙트럼 표현을 통해 해결하며, 리아풀로프 지수 λ_L = 2πhT가 해석적 구조에 내장되어 있다.
• 항등식 ∫ du' |Γ(1/2 + i(u−u'))|² |Γ(1/4 + h/2 + iu')|² = 2π Γ(1/2 + h)/Γ(3/2 + h) |Γ(3/4 + h/2 + iu)|² 를 사용하여 고유값 방정식의 정확한 해를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SYK 모델에 의해 빠른 스캐러밍에서 느린 스캐러밍으로의 양자상전이가 유도될 수 있으며, 양측의 고정점은 어떤 성질을 가지는가?
• RQ2 주변 부위 비율 M/N = p가 비페르미 액체 고정점의 안정성과 2차 고정점의 등장에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 두 상에서 리아풀로프 지수 λ_L의 행동은 어떻게 되며, 임계점에서 λ_L = 2πT 에서 λ_L ∝ T²로의 전이 과정은 어떻게 이루어지는가?
• RQ4 잔류 엔트로피는 임계점 p_c에서 연속적으로 감소하는가? 이는 페르미온 점유율 n에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 상전이 영역에서 비순서상관관계함수 및 그 1/N 보정 항은 어떻게 행동하는가? V_iα 상호작용은 필터링을 어떻게 매개하는가?

주요 결과

• p < p_c(n)일 경우, 시스템은 안정한 등각 고정점을 가진 비페르미 액체 상에 머물며, 리아풀로프 지수는 양자 한계에 도달한다: λ_L = 2πT.
• 임계점 p = p_c(n)에서, 등각 영역로의 전이를 나타내는 온도 척도가 연속적으로 소멸하며, T → 0일 때 잔류 엔트로피도 연속적으로 소멸한다.
• p > p_c(n)일 경우, 2차 페르미온 버스가 SYK 상호작용을 필터링하여 자유도의 저에너지 고정점을 유도하며, λ_L ∝ T²이므로 느린 스캐러밍을 나타낸다.
• 임계 비율 p_c(n)은 J, t, V의 상호작용 강도와는 무관하게 오직 페르미온 점유율 n에만 의존한다.
• 비순서상관관계함수의 1/N 보정 항은 래더 다이어그램을 통해 계산되며, χ 및 η 장을 포함하는 함수 F_3 는 F_1 대비 (JT/V²)√(p/(1−p))의 인자로 억제된다.
• 등각 근사에서 그린 함수의 정확한 해는 감마 함수로 표현되며, 리아풀로프 지수에 대한 고유값 방정식은 감마 함수를 포함하는 알려진 적분 항등식을 통해 검증된다.