[논문 리뷰] Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture

Rafael von Känel, Benjamin Matschke|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 131인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 선형 로그 형식에 의존하지 않고 쇠미우라-타니야마 추측과 팔팅스의 방법을 사용하여 ℚ 위에서 S-unit, 모델, 데, 데-마하러, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 해결하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 효율적인 타원 로그 걸러내기와 개선된 높이 경계를 도입함으로써 이전에는 해결이 불가능했던 디오판틴 방정식을 해결할 수 있게 되었으며, 개선된 명시적 경계와 새로운 추측을 도출하였다.

ABSTRACT

In the first part we construct algorithms which we apply to solve S-unit, Mordell, cubic Thue, cubic Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations. As a byproduct we obtain alternative practical approaches for various classical Diophantine problems, including the fundamental problem of finding all elliptic curves over Q with good reduction outside a given finite set of rational primes. To illustrate the utility of our algorithms we determined the solutions of large classes of equations, containing many examples of interest which are out of reach for the known methods. In addition we used the resulting data to motivate various conjectures and questions, including Baker's explicit abc-conjecture and a new conjecture on S-integral points of any hyperbolic genus one curve over Q. In the second part we establish new results for certain old Diophantine problems (e.g. the difference of squares and cubes) related to Mordell equations, and we prove explicit height bounds for cubic Thue, cubic Thue--Mahler and generalized Ramanujan--Nagell equations. As a byproduct, we obtain here an alternative proof of classical theorems of Baker, Coates and Vinogradov-Sprindzuk. In fact we get refined versions of their theorems, which improve the actual best results in many fundamental cases. Our results and algorithms all ultimately rely on the method of Faltings (Arakelov, Parshin, Szpiro) combined with the Shimura-Taniyama conjecture, and they all do not use lower bounds for linear forms in (elliptic) logarithms. In the third part we solve the problem of constructing an efficient sieve for the S-integral points of bounded height on any elliptic curve E over Q with given Mordell-Weil basis of E(Q).

연구 동기 및 목표

• ℚ 위에서 S-unit, 모델, 데, 데-마하러, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 포함한 고전적 디오판틴 방정식을 해결하기 위한 실용적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 베이커, 코츠, 비노그라도프–스프린즈키의 고전적 정리들을 개선하여 삼차 데, 데-마하러, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식에 대해 명시적이고 최적화된 높이 경계를 제공하는 것.
• 타원 로그의 기하적 해석을 활용하여 ℚ 위의 타원 곡선에 대한 S-정수점에 대한 효율적인 걸러내기를 구축하는 것.
• 선형 로그 형식의 하한에 의존하지 않고 고전 결과에 대한 대체 증명을 제공하는 것.
• 신규 추측을 유도하는 데 사용할 수 있는 계산 데이터를 생성하는 것. 이에는 베이커의 명시적 abc-추측과 하이퍼볼릭 종수 1인 곡선의 S-정수점에 대한 추측이 포함된다.

제안 방법

• 팔팅스의 접근법과 쇠미우라-타니야마 추측을 조합하여 선형 로그 형식의 하한에 의존하지 않도록 하는 방법.
• 두 가지 알고리즘 유형을 개발: 하나는 모듈러 기호를 사용하고, 다른 하나는 명시적 높이 경계와 효율적인 걸러내기를 조합한 것이다.
• 데 위저의 디오판틴 근사 기법과 새로운 기하적 아이디어를 통합하여 S-unit 방정식을 위한 정교한 걸러내기를 구축.
• 자그리의 타원 로그 환원과 새로운 기하적 및 계산적 개선을 결합한 '타원 로그 걸러내기'를 도입.
• 정밀도를 통제하는 수치 계산, 간격 산술, 뉴턴 방법을 사용하여 이차 형식의 고유값을 보장된 정확도로 계산.
• 타원 로그 걸러내기로 정의된 타원체에 대해 합동체 포인트 수를 세는 데 피نك-포스트 알고리즘을 적용하며, LLL 감소와 분수 근사 기반의 구현을 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러 기호와 높이 경계를 사용하여 로그 형식에 의존하지 않고 ℚ 위에서 S-unit 방정식을 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 삼차 데, 데-마하러, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식에 대해 가장 날카로운 명시적 높이 경계는 무엇인가?
• RQ3 타원 로그 걸러내기를 어떻게 정교화하여 주어진 모델-바일 기저를 가진 타원 곡선에 대한 S-정수점을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 해당 알고리즘이 이전에는 해결이 불가능했던 디오판틴 방정식을 해결하고 디오판틴 기하학 분야에서 새로운 추측을 유도할 수 있는 데이터를 생성할 수 있는가?
• RQ5 쇼미우라-타니야마 추측을 얼마나 활용하여 고전적 디오판틴 근사 이론의 개선된, 효과적인 판본을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 데 위저의 디오판틴 근사 기법과 새로운 기하적 기법을 융합한 정교한 S-unit 방정식 걸러내기를 구축하여 효율성이 크게 향상되었다.
• ℚ 위의 타원 곡선에 대한 S-정수점 계산을 위한 효율적인 '타원 로그 걸러내기'가 개발되었으며, 이는 실질적으로 어려운 디오판틴 방정식을 해결하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 삼차 데, 데-마하러, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식에 대해 명시적 높이 경계가 유도되었으며, 베이커, 코츠, 비노그라도프–스프린즈키의 고전적 정리를 개선했다.
• 기존 방법으로는 다룰 수 없었던 방정식의 큰 집합을 성공적으로 해결하였으며, 이는 수론적 관심을 끄는 많은 예제를 포함한다.
• 생성된 데이터는 새로운 추측을 유도하였으며, 이에는 베이커의 명시적 abc-추측의 개선된 판과 ℚ 위의 하이퍼볼릭 종수 1인 곡선의 S-정수점에 대한 새로운 추측이 포함된다.
• 선형 로그 형식의 하한에 의존하지 않아, 고전 결과에 대한 새로운 대체 길을 제공하며, 핵심 사례에서 효과성이 향상되었다.