[논문 리뷰] Some approximation results by Bernstein-Kantorovich operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 16.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $q$-해석적 연산자의 일반화로서 $(p,q)$-Bernstein-Kantorovich 연산자를 도입하여 함수 근사에서 유연성을 향상시킨다. Korovkin의 정리와 연속성 모듈러스를 사용하여 수렴 속도와 국소 근사 성질을 확립하고, 이론적 분석과 그래픽 비교를 통해 $q$-연산자에 비해 더 뛰어난 수렴의 유연성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, First we have given the modified form of (p,q)-analogues of Bernstein and Bernstein operators [21-23] and then we introduce a new analogue of Bernstein-Kantorovich operators which we call as (p,q)-Bernstein-Kantorovich operators. We discuss approximation properties for these operators based on Korovkin's type approximation theorem and we compute the order of convergence using usual modulus of continuity and also the rate of convergence when f is a Lipschitz function. Moreover, we also study the local approximation property of the (p,q)-Kantorovich operators . We show comparisons and some illustrative graphics for the convergence of operators to a function. In comparison to q-analogoue of Bernstein-Kantorovich operators, our generalization gives more flexibility for the convergence of operators to a function.

연구 동기 및 목표

• $(p,q)$-해석학을 사용하여 Bernstein-Kantorovich 연산자의 새로운 일반화를 개발하여 근사의 유연성을 향상시키는 것.
• Korovkin 유형 정리들을 사용하여 제안된 $(p,q)$-Bernstein-Kantorovich 연산자의 근사 성질을 분석하는 것.
• 함수의 리프시츠 클래스 $\mathrm{Lip}_M(\alpha)$에 속할 경우, 연속성 모듈러스와 수렴 속도를 통한 수렴의 차수를 계산하는 것.
• 두 번째 순서의 $K$-기능 및 Peetre의 $K$-기능을 사용하여 $K_n^{(p,q)}$ 수열의 국소 근사 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• $(p,q)$-정수를 기반으로 하는 새로운 연산자 $K_n^{(p,q)}(f;x)$를 제안하여 $q$-Bernstein-Kantorovich 연산자를 일반화하는 것.
• $(p,q)$-해석학 프레임워크를 정의하며, 이는 $(p,q)$-정수, $(p,q)$-이항 계수, $(p,q)$-적분을 포함한다.
• $K_n^{(p,q)}$ 연산자의 모멘트 추정을 지원하기 위해 기본 레마를 수립하는 것.
• Korovkin의 정리를 적용하여 연속 함수에 대해 $[0,1]$에서 균일 수렴을 증명하는 것.
• 연속성 모듈러스와 $K$-기능을 사용하여 수렴 속도의 정량적 추정을 도출하는 것.
• MATLAB을 사용하여 다양한 $p$, $q$, $n$ 값에 대한 수렴 행동을 시각화하는 그래픽 비교를 생성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(p,q)$-Bernstein-Kantorovich 연산자가 함수 근사에서 $q$-해석적 연산자에 비해 수렴의 유연성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 일반적인 연속성 모듈러스를 사용할 경우 제안된 $(p,q)$-연산자의 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ3 함수 $f$가 리프시츠 클래스 $\mathrm{Lip}_M(\alpha)$에 속할 경우 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 $K_n^{(p,q)}$의 국소 근사 성질은 어떻게 행동하며, 그 정량적 추정은 무엇인가?
• RQ5 그래픽 예시는 $(p,q)$-연산자가 $q$-연산자에 비해 수렴 속도와 정확도 면에서 얼마나 뛰어난지를 어느 정도 보여주는가?

주요 결과

• 제안된 $(p,q)$-Bernstein-Kantorovich 연산자는 $n \to \infty$일 때 연속 함수에 대해 $[0,1]$에서 균일 수렴하며, Korovkin의 조건을 만족한다.
• 연속성 모듈러스를 사용하여 수렴 차수는 $O(\delta_n^2(x))$로 추정되며, 여기서 $\delta_n^2(x)$는 연산자의 두 번째 모멘트이다.
• 함수들이 $\mathrm{Lip}_M(\alpha)$에 속할 경우, 수렴 속도는 $O\left(\left(\frac{p^n}{[n]_{p,q}}\right)^{\alpha/2}\right)$로 표현되며, 이는 $p$, $q$, $n$에 의존함을 보여준다.
• 국소 근사 오차는 $C \omega_2(f, \delta_n(x)) + \omega(f, \alpha_n(x))$로 유계이며, 여기서 $\omega_2$는 두 번째 순서 연속성 모듈러스이고 $\alpha_n(x) = \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}$이다.
• 그래픽 결과는 $p \to 1^-$ 및 $q \to 1^-$일 때 $0 < q < p \leq 1$이면, $f(x) = 1 + \sin(7x)$에 대해 $q$-해석적 연산자보다 더 빠르고 더 민감하게 수렴함을 확인한다.
• $K$-기능 접근법을 통해 정량적 추정: $\left|K_n^{(p,q)}(f;x) - f(x)\right| \leq 4K_2(f, \delta_n^2(x)) + \omega\left(f, \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}\right)$를 도출하였으며, 이는 최적의 부드러움 의존성과 함께 수렴을 확인한다.