[논문 리뷰] Some approximation results on Bleimann-Butzer-Hahn operators defined by (p,q)-integers

M. ‎Mursaleen, Md. Nasiruzzaman외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 03.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $(p,q)$-정수를 기반으로 한 새로운 $(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn 연산자 클래스를 제안하며, 고전적 및 $q$-해석적 형태를 일반화한다. 이는 코로브킨 유형의 근사 정리와 연속성 모듈러스를 사용한 수렴 추정을 수립하여 특정 매개변수 조건 하에서 일반화된 리프시츠 유형 공간의 함수들에 대해 균일 수렴을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a generalization of the Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin's type approximation theorem for these operators. Furthermore, we compute convergence of these operators by using the modulus of continuity.

연구 동기 및 목표

• 더 나은 근사 유연성을 확보하기 위해 고전적 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자를 $(p,q)$-정수를 사용해 일반화한다.
• 테스트 함수 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$ ($\nu = 0,1,2$)를 사용하여 새로운 $(p,q)$-BBH 연산자에 대한 코로브킨 유형의 근사 정리를 수립한다.
• 연속성 모듈러스와 리프시츠 유형 최대 함수를 통해 연산자의 수렴 속도를 분석한다.
• 더 일반적인 $(p,q)$-미적분 프레임워크를 통합하여 이전의 $q$-BBH 연산자 결과를 확장한다.

제안 방법

• $(p,q)$-정수를 사용하여 $(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn 연산자를 정의하며, 명시적 커널 $\ell_n^{p,q}(x) = \prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x)$를 제공한다.
• $(p,q)$-이항 전개와 $(p,q)$-정수 $[k]_{p,q} = \frac{p^k - q^k}{p - q}$를 활용하여 연산자의 가중 함수를 구성한다.
• 테스트 함수 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$ ($\nu = 0,1,2$)에 대해 수렴성을 검증함으로써 코로브킨 정리를 적용한다.
• 연속성 모듈러스와 리프시츠 유형 조건을 사용하여 $\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$에 속하는 함수의 근사 오차를 추정한다.
• 횔더 부등식과 $[n]_{p_n,q_n}$, $[n+1]_{p_n,q_n}$, $c_n = [n+1]_{p_n,q_n} + \gamma$의 점근적 분석을 통해 수렴 경계를 유도한다.
• 매개변수 제약 조건 하에서 연산자 노름 차이 $\|L_n^{(p_n,q_n),\gamma}(f) - f\|_{C_B} \to 0$가 $n \to \infty$일 때 성립함을 보여 균일 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자를 $(p,q)$-정수를 사용해 일반화하여 더 나은 근사 유연성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 $(p,q)$-BBH 연산자가 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$ ($\nu = 0,1,2$) 테스트 함수에 대해 코로브킨 근사 정리를 만족하는가?
• RQ3 연속성 모듈러스와 리프시츠 유형 조건에 따라 $(p,q)$-BBH 연산자의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 $p_n \to 1^-$ 및 $q_n \to 1^-$일 때 수렴 행동은 어떻게 변화하며, 이는 $q$-BBH 연산자에 대해 어떤 점근적 행동을 보이는가?

주요 결과

• $(p,q)$-BBH 연산자는 $\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$ ($\nu = 0,1,2$)에 대해 코로브킨 근사 정리를 만족하며, 이는 $\mathbb{R}_+$에서 균일 수렴을 보장한다.
• 수렴 속도는 $3M \cdot \max\left\{ \left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, \left|1 - \frac{[n+1]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right|^\alpha \left(\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, 1 - 2\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}} + \frac{q_n[n]_{p_n,q_n}[n-1]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}^2} \right\}$로 유계이다.
• $p_n = 1$일 경우 연산자는 $q$-BBH 연산자로 축소되며, $\gamma = 0$, $q_n = 1$일 경우 Balázs 유형의 $q$-BBH 연산자 일반화를 복원한다.
• $\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$에 속하는 함수에 대해 수렴은 균일하며, 오차는 $\delta_n^{\alpha/2}(x)$로 감소한다. 여기서 $\delta_n(x)$는 연산자의 두 번째 모멘트이다.
• 경계는 $\left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha$에 의존하여 $\gamma$와 $n$에 민감함을 보인다.
• $n \to \infty$일 때, 조건 $\lim_{n \to \infty} \frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma} = 1$이 성립하면 수렴이 유지되며, 이는 점근적 안정성을 보장한다.