[논문 리뷰] Some characterizations of almost limited sets and applications

Nabil Machrafi, Aziz Elbour외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 10.

Advanced Banach Space TheoryMathematics참고 문헌 8인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 격자에서 거의 한정된 집합을 도입하고 특성화하며, Chen 등이 이전에 수행한 연구를 일반화한다. wDP* 성질에 대한 동치 조건을 확립하고, 단위 구를 거의 한정된 집합으로 매핑하는 연산자인 거의 한정된 연산자를 정의한다. 주요 기여는 σ-디데킨드 완비 바나흐 격자에서 순서 연속 노름을 갖는 경우, 모든 거의 한정된 연산자가 컴팩트임을 보여주는 특성화이며, 이와 동시에 이중 공간의 격자 연산이 약* 수열 연속성이 되는 것과 동시에 모든 거의 한정된 연산자가 한정된 연산자임이 성립한다.

ABSTRACT

Recently, J.X. Chen et al. introduced and studied the class of almost limited sets in Banach lattices. In this paper we establish some characterizations of almost limited sets in Banach lattices (resp. wDP* property of Banach lattices), that generalize some results obtained by J.X. Chen et al.. Also, we introduce and study the class of the almost limited operators, which maps the closed unit bull of a Banach space to an almost limited subset of a Banach lattice. Some results about the relationship between the class of almost limited operators and that of limited (resp. L- and M-weakly compact, resp. compact) operators are presented.

연구 동기 및 목표

• Chen 등이 확립한 바나흐 격자 내 거의 한정된 집합의 특성화를 초월하여, 이를 일반화하는 것
• 단위 구를 바나흐 공간의 거의 한정된 부분집합으로 매핑하는 거의 한정된 연산자 클래스를 정의하고 연구하는 것
• 거의 한정된 연산자와 다른 연산자 클래스, 즉 한정된, L-약하게 컴팩트한, M-약하게 컴팩트한, 그리고 컴팩트한 연산자들 사이의 관계를 조사하는 것
• 특히 순서 연속 노름을 갖는 σ-디데킨드 완비 바나흐 격자에서 거의 한정된 연산자가 컴팩트하거나 한정된 연산자가 되는 조건을 확립하는 것

제안 방법

• 바나흐 격자에서 거의 한정된 집합의 개념을 도입하여, 이는 이중 공간의 이심화된 서로소 약* 수렴하는 수열이 노름으로 균일하게 0으로 수렴하는 유계 집합을 의미한다.
• 거의 순서 유계 집합의 개념과 그들의 한정되거나 거의 한정된 집합에 의한 근사화를 사용하여, 순서 간격을 초월한 특성화를 확장한다.
• 성질 (d): E*에서 서로소인 약* 수렴하는 수열 (fn)이 존재할 경우, |fn| → 0 이다. 이는 E*에서 약* 수렴한다.
• T(BX)가 E의 거의 한정된 부분집합이 되는 연산자인 거의 한정된 연산자를 정의한다.
• 수렴 분석과 약* 수열 연속성 실패를 가정했을 때 모순을 이끌어내기 위해 수반 연산자 T*를 활용한다.
• ℓ¹의 구조와 연산자의 급수 표현을 이용하여 반례를 구성하고 등가 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 격자 E에서 모든 거의 순서 유계 부분집합이 거의 한정된 집합이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 바나흐 격자 사이의 모든 거의 한정된 연산자가 반드시 한정된 연산자가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 거의 한정된 연산자와 컴팩트, M-약하게 컴팩트, 또는 L-약하게 컴팩트한 연산자들 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 E*에서 격자 연산의 약* 수열 연속성은 거의 한정된 연산자의 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모든 거의 한정된 연산자가 컴팩트가 되는 바나흐 격자는 어떤 특성을 갖는가?

주요 결과

• 바나흐 격자 E가 성질 (d)를 갖는다 ↔ E의 모든 거의 순서 유계 부분집합이 거의 한정된 집합이다.
• E*의 격자 연산이 약* 수열 연속성임 ↔ E의 모든 거의 순서 유계 부분집합이 한정된 집합이다.
• 순서 연속 노름을 갖는 σ-디데킨드 완비 바나흐 격자에서는 모든 거의 한정된 연산자가 컴팩트이다.
• σ-디데킨드 완비 바나흐 격자 E에 대해, E*의 격자 연산이 약* 수열 연속성임 ↔ ℓ¹에서 E로의 모든 거의 한정된 연산자가 한정된 연산자이다.
• 순서 유계인 M-약하게 컴팩트한 연산자 T: E → F는 E*가 약* 수열 연속적인 격자 연산을 갖거나 F가 성질 (d)를 갖는다면 거의 한정된 연산자이다.
• 순서 유계인 연산자 T: E → F는 (xn)이 E+에서 노름 유계인 서로소 수열이고 (fn)이 F*에서 약* 수렴하는 서로소 수열일 때, fn(T(xn)) → 0 이다.