[논문 리뷰] Some classes of power functions with low c-differential uniformity over finite fields

Zhengbang Zha, Lei Hu|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 특성의 유한체에서 거듭제곱 함수의 $c$-미분 균일성에 대해 연구하며, 저항성 $c$-미분 균일성($\text{}_c\triangle_f \leq 3$)을 갖는 여섯 가지 새로운 함수 클래스를 제안한다. 유한체 위에서 이차 특성 분석과 방정식 해법을 통해 $c = -1$인 두 개의 새로운 완전 $c$-비선형성(PcN) 함수를 구축하였으며, 거의 완전 $c$-비선형성 함수에 대한 기존 결과를 확장하고, 곱셈 미분 암호 분석에 대한 저항성을 향상시켰다.

ABSTRACT

Functions with low c-differential uniformity have optimal resistance to some types of differential cryptanalysis. In this paper, we investigate the c-differential uniformity of power functions over finite fields. Based on some known almost perfect nonlinear functions, we present several classes of power functions $f(x)=x^d$ with $_{c}Δ_f\leq3$. Especially, two new classes of perfect c-nonlinear power functions are proposed.

연구 동기 및 목표

• 홀수 특성의 유한체에서 알려진 거의 완전 비선형(APN) 거듭제곱 함수의 $c$-미분 균일성을 조사하는 것.
• 특히 $c = \pm 1$일 때 $\text{}_c\triangle_f \leq 3$인 거듭제곱 함수 $f(x) = x^d$의 새로운 클래스를 식별하는 것.
• $c = -1$인 경우 새로운 완전 $c$-비선형성(PcN) 함수를 구축하여 표준 $c=1$ 경우를 초월한 $c$-미분 균일성 이론을 확장하는 것.
• 유한체 위에서 $f(x+1) - c f(x) = b$의 해의 수를 특성화하기 위해 이차 특성 분석과 방정식 해법 기법을 적용하는 것.
• 딕슨 다항식의 성질과 $\mathbb{F}_{p^n}$ 내의 지수 구조를 활용하여 기존의 $c$-미분 균일성 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 유한체 $\mathbb{F}_{p^n}^*$에서 원소의 제곱성 여부를 분류하기 위해 이차 특성 $\chi(x) = x^{(p^n-1)/2}$를 사용하여 $\chi(x)$ 및 $\chi(x+1)$에 대한 경우 분석을 가능하게 한다.
• $c = \pm 1$일 때 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 $(x+1)^d - c x^d = b$의 방정식을 분석하며, $\chi(x)$ 및 $\chi(x+1)$의 부호에 따라 해를 분해한다.
• 특수 조건 $n/\gcd(n,k)$가 홀수일 때 $\gcd(p^k + 1, p^n - 1) = 2$임을 이용하여 $x^{p^k+1}$가 PN이 되며, 이를 수정된 지수로 확장한다.
• $\eta \in \mathbb{F}_{p^{2n}}^*$에 대해 $x = \eta + \eta^{-1}$의 변환을 사용하여 추적 유사 항등식을 표현하고 해의 수를 유도한다.
• 레마 2.2를 적용하여 $\text{}_c\triangle_f$의 계산을 $b \in \mathbb{F}_{p^n}$에 대한 $f(x+1) - c f(x) = b$의 해의 수의 최댓값으로 감소시킨다.
• Akbary-Ghioca-Wang 기준 및 그 일반화를 적용하여 $c = -1$에 대해 특히 $c$-미분 균일성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 알려진 APN 거듭제곱 함수 중 $c \neq 1$일 때 낮은 $c$-미분 균일성을 보이는 것은 무엇인가?
• RQ2 $c = -1$일 때 기존의 APN 함수를 활용하여 새로운 완전 $c$-비선형성(PcN) 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한체 $\mathbb{F}_{p^n}^*$의 이차 특성이 $f(x+1) - c f(x) = b$의 해의 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 지수 $d$ 및 필드 매개변수에 어떤 조건이 성립하면 $\text{}_c\triangle_f \leq 3$가 $c = \pm 1$일 때 성립하는가?
• RQ5 $x^{p^k+1}$가 $n/\gcd(n,k)$가 홀수일 때 PN임이 알려져 있으나, 이는 $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$일 때 $x^d$로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 특수 조건 $p^n \equiv 3 \pmod{4}$ 및 $n/\gcd(n,k)$가 홀수일 때, 거듭제곱 함수 $f(x) = x^{\frac{p^n-1}{2} + p^k + 1}$는 $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 3$ 및 $\text{}_1\triangle_f \leq 6$를 만족한다.
• $p^n \equiv 1 \pmod{4}$일 경우, 동일한 함수는 $\text{}_{-1}\triangle_f \leq 6$ 및 $\text{}_1\triangle_f \leq 3$를 만족하며, 필드의 홀짝성에 따라 $c$-균일성의 대칭성을 보인다.
• $c = -1$인 경우 두 개의 새로운 완전 $c$-비선형성(PcN) 함수가 구성되었으며, 이는 $d = \frac{p^n-1}{2} + p^k + 1$이면서 제시된 조건을 만족할 때 성립한다.
• $c = 1$일 경우 $f(x+1) - f(x) = b$의 최대 해의 수는 6 이하이며, $c = -1$일 경우 3 이하이므로, 곱셈 미분 공격에 대해 강력한 저항성을 보인다.
• $x^{p^k+1}$는 $n/\gcd(n,k)$가 홀수일 때 PN이며, 본 논문은 이를 더 넓은 범위의 지수로 일반화하여 제어된 $c$-미분 균일성을 갖는 클래스를 도출한다.
• 분석 결과 $\text{}_c\triangle_f$는 지수의 $p^n - 1$ 모듈로 동치성에 대해 불변이며, $c = \pm 1$일 때 $c$-균일성은 $c$-동치성에 의해 유지됨을 확인하였다.