[논문 리뷰] Some compactness criteria for weak solutions of time fractional PDEs

Li Lei, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 28.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 43인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 범주형 공간에서의 일반화된 약한 캄투 도함수를 도입하고 볼테라 적분 형태를 통해 시간 정(regularity) 추정을 유도함으로써 시간 분수형 PDE의 약한 해에 대한 컴팩트성 기준을 수립한다. 핵심 기여는 아불-라온스 보조정리의 분수형 유사체를 제공하는 것으로, 이는 R²에서 시간 분수형 압축성 라우에-스톡스 및 켈러-세겔 방정식에 대한 약한 해의 존재성을 증명하는 데 기여한다.

ABSTRACT

The Aubin-Lions lemma and its variants play crucial roles for the existence of weak solutions of nonlinear evolutionary PDEs. In this paper, we aim to develop some compactness criteria that are analogies of the Aubin--Lions lemma for the existence of weak solutions to time fractional PDEs. We first define the weak Caputo derivatives of order $γ\in (0,1)$ for functions valued in general Banach spaces, consistent with the traditional definition if the space is $\mathbb{R}^d$ and functions are absolutely continuous. Based on a Volterra type integral form, we establish some time regularity estimates of the functions provided that the weak Caputo derivatives are in certain spaces. The compactness criteria are then established using the time regularity estimates. The existence of weak solutions for a special case of time fractional compressible Navier-Stokes equations with constant density and time fractional Keller-Segel equations in $\mathbb{R}^2$ are then proved as model problems. This work provides a framework for studying weak solutions of nonlinear time fractional PDEs.

연구 동기 및 목표

• 시간 분수형 PDE에 대한 아불-라온스 보조정리를 확장하기 위해 약한 해에 대한 컴팩트성 기준을 개발한다.
• 일반적인 범주형 공간에 값이 있는 함수에 대해 γ ∈ (0,1) 차수의 약한 캄투 도함수를 정의하며, 적용 가능한 경우 고전적 정의와 일致하도록 한다.
• 약한 캄투 도함수가 Lp 공간에 있을 경우 함수의 시간 정(regularity) 추정을 수립한다.
• 유도된 컴팩트성 기준을 시간 분수형 압축성 라우에-스톡스 및 켈러-세겔 방정식에 적용하여 R²에서 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 비선형 시간 분수형 PDE의 약한 해를 연구하기 위한 일반적 프레임워크를 기능해석 도구와 분수적 미적분학을 사용하여 제공한다.

제안 방법

• 볼테라 적분 형태를 통한 약한 캄투 도함수 정의를 통해 고전적 캄투 도함수를 범주형 공간에 값이 있는 함수로 일반화한다.
• 약한 캄투 도함수가 Lp 공간에 있을 경우 시간 이동 추정을 도출하여 시간에 대한 호일더 유형 정(regularity)을 확립한다.
• 시간 정(regularity) 추정을 사용하여 보흐너 공간에서 아불-라온스 보조정리와 유사한 강한 컴팩트성 기준을 구성한다.
• 미트라-레프러의 연산자 Eγ(−tγA)를 사용하여 시간 분수형 압축성 라우에-스톡스 방정식의 온전한 형태에 컴팩트성 기준을 적용한다.
• 시간 분수형 켈러-세겔 모델에 대해 C([0,T]; Hα(R²))에서 수축 사상 원리에 의해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• H⁻¹(R²)와 H¹(R²)에서의 에너지 추정과 쌍대성 논증을 사용하여 질량 보존성과 해의 양성(positivity)을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 분수형 PDE에 대해 아불-라온스 보조정리와 유사한 컴팩트성 기준을 개발할 수 있는가?
• RQ2 임의의 범주형 공간에 값이 있는 함수에 대해 고전적 정의와 일치하도록 캄투 도함수를 일반화할 수 있는가?
• RQ3 약한 캄투 도함수가 Lp 공간에 있을 경우 함수에 대해 도출할 수 있는 시간 정(regularity) 추정은 무엇인가?
• RQ4 제안된 컴팩트성 프레임워크는 비선형 시간 분수형 PDE에 대한 약한 해의 존재성을 증명하는 데 적용할 수 있는가?
• RQ5 시간 분수형 켈러-세겔 및 라우에-스톡스 방정식의 해에 대한 정(regularity)과 구조적 성질(예: 양성, 질량 보존성)은 무엇인가?

주요 결과

• 일반적인 범주형 공간에 값이 있는 함수에 대해 γ ∈ (0,1) 차수의 새로운 약한 캄투 도함수 정의가 제안되며, 고전적 정의를 일반화한다.
• 시간 정(regularity) 추정이 확립된다: 약한 캄투 도함수가 Lp에 속해 있다면, 함수는 시간에 대해 지수 γ/2의 호일더 유형 정(regularity)을 갖는다.
• 보흐너 공간에서 아불-라온스 보조정리와 유사한 컴팩트성 기준이 증명되어 시간과 공간에서 수렴하는 부분수열을 추출할 수 있다.
• 시간 분수형 압축성 라우에-스톡스 방정식에 대해 C([0,T]; Hα(R²))에서 수축 사상 원리에 의해 약한 해의 존재성이 증명된다.
• 시간 분수형 켈러-세겔 방정식의 해는 음이 아니며 질량을 보존하며, C⁰,γ([0,T]; Hα(R²)) ∩ C∞((0,∞); Hα(R²))에서 유일성과 정(regularity)이 보장된다.
• 푸비니의 정리와 기본 해의 기울기 적분이 0임을 이용하여 질량 보존성이 증명되며, 이는 온전한 형태의 두 번째 항이 총 질량을 변화시키지 않음을 보장한다.