[논문 리뷰] Some completely monotonic properties for the $(p,q )$-gamma function

Valmir Krasniqi, Faton Merovcı|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 16.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 15인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 감마 함수와 psi 함수에 대한 고전적 결과를 일반화하여 $(p,q)$-감마 함수와 $(p,q)$-psi 함수에 대한 완전 단조성 및 로그 완전 단조성 성질을 수립한다. 특정 매개변수 조건 하에서 $(p,q)$-psi 함수 및 관련 비율이 완전 단조성이 있음을 증명하며, $p \to \infty$ 및 $q \to 1$일 때 기존 결과를 복원한다. 주요 기여는 $q$- 및 $p$-변형 특수 함수의 단조성에 대한 통합 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

It is defined $Γ_{p,q}$ function, a generalize of $Γ$ function. Also, we defined $ψ_{p,q}$-analogue of the psi function as the log derivative of $Γ_{p,q}$. For the $Γ_{p,q}$ -function, are given some properties related to convexity, log-convexity and completely monotonic function. Also, some properties of $ψ_{p,q} $ analog of the $ψ$ function have been established. As an application, when $p o \infty, q o 1,$ we obtain all result of \cite{Valmir1} and \cite{SHA}.

연구 동기 및 목표

• 완전 단조성 함수 이론을 $(p,q)$-변형 감마 함수와 psi 함수로 확장한다.
• $(p,q)$-psi 함수 및 관련 비율이 완전 단조성 또는 로그 완전 단조성이 되는 충분한 조건을 설정한다.
• 특수 함수 이론의 고전적 결과를 $p \to \infty$ 및 $q \to 1$일 때의 극한으로 복원한다.
• 특수 함수의 $q$- 및 $p$-변형에 대한 단조성에 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• $(p,q)$-감마 함수 $\Gamma_{p,q}(x)$를 $q$-정수와 $p$-계승을 사용하여 고전적 감마 함수의 이중 매개변수 일반화로 정의한다.
• $(p,q)$-psi 함수 $\psi_{p,q}(x)$를 $\Gamma_{p,q}(x)$의 로그 미분으로 정의하고, 적분 표현 및 급수 표현을 유도한다.
• 급수 전개를 분석하여 도함수의 부호를 분석함으로써 $\psi_{p,q}^{(k)}(x)$가 $q > 0$ 및 $x > 0$일 때 완전 단조성이 있음을 증명한다.
• 적분 표현과 적분 기호 아래에서의 미분을 사용하여, $s > t$일 때 $\Gamma_{p,q}$를 통해 정의된 비율 $h_{\beta,p,q}(x)$가 $(-\alpha, \infty)$에서 로그 완전 단조성이 있음을 확립한다.
• 교환 다이어그램 구조를 사용하여 $p \to \infty$일 때 $\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_q(x)$이고 $q \to 1$일 때 $\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_p(x)$임을 보여주며, 기존 극한과의 일致성을 확보한다.
• 결과를 적용하여 함수 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$에 대한 부등식을 유도하며, 특정 계수 및 부호 제약 조건 하에서 단조성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(p,q)$-psi 함수 $\psi_{p,q}(x)$가 $(0, \infty)$에서 언제 완전 단조성이 되는가?
• RQ2 $(p,q)$-감마 함수를 통해 정의된 비율 $h_{\beta,p,q}(x)$가 $(-\alpha, \infty)$에서 언제 로그 완전 단조성이 되는가?
• RQ3 모든 $p \to \infty$ 및 $q \to 1$ 극한에서 $\psi_{p,q}(x)$의 단조성 성질이 고전적 $\psi(x)$ 및 $\psi_q(x)$ 함수의 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 계수 제약 조건 $ef \geq bc > 0$ 및 $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ 하에서 함수 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$에 대해 어떤 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 $(p,q)$-감마 함수를 사용하여 고전적 감마 함수에 대한 알려진 부등식, 예를 들어 [21]에서의 부등식을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• $\psi_{p,q}(x)$는 모든 $q > 0$ 및 $p \in \mathbb{N}$에 대해 $(0, \infty)$에서 엄격하게 완전 단조성이 있다. 즉, 모든 $n \geq 0$ 및 $x > 0$에 대해 $(-1)^n \psi_{p,q}^{(n)}(x) > 0$이다.
• $s > t$일 때 $h_{\beta,p,q}(x)$는 $(-\alpha, \infty)$에서 로그 완전 단조성이 있다. 즉, 모든 $k \geq 1$에 대해 $(-1)^k [\ln h_{\beta,p,q}(x)]^{(k)} \geq 0$이다.
• $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$에 대해, $ef \geq bc > 0$ 및 $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ 또는 $\psi_{p,q}(d+ex) > 0$일 때 함수는 $[0, \infty)$에서 감소하며, $x \in [0,1]$에 대해 이중 부등식 $\Gamma_{p,q}(a+b)^c / \Gamma_{p,q}(d+e)^f \leq f_1(x) \leq \Gamma_{p,q}(a)^c / \Gamma_{p,q}(d)^f$가 성립한다.
• $bc \geq ef > 0$ 및 $\psi_{p,q}(d+ex) < 0$ 또는 $\psi_{p,q}(a+bx) < 0$일 때도 함수 $f_1(x)$는 $[0, \infty)$에서 감소하며, $[0,1]$에서 동일한 이중 부등식이 성립한다.
• 결과는 각각 $p \to \infty$ 및 $q \to 1$일 때 [12] 및 [21]의 알려진 정리들을 복원하며, 고전적 특수 함수 이론과의 일致성을 확인한다.
• $0 < q < 1$일 때 $\psi_{q}^{(k)}(x) = \log^{k+1} q \sum_{n \geq 1} \frac{n^k q^{nx}}{1 - q^n}$의 급수 표현은 $\psi_q^{(k)}(x)$의 완전 단조성을 확인하며, 이는 $p$-변형을 통해 $(p,q)$-경우로 확장된다.