[논문 리뷰] Some definite logarithmic integrals from Euler sums, and other integration results

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 08.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 로그 적분과 다중로그 함수, 유리 함수를 포함하는 경우에 대해 명시적인 닫힌 형태의 표현식을 유도하며, 이를 오일러 합과 리만 제타 함수 값과 연결한다. 특수 함수인 다이감마 함수와 히르츠 제타 함수의 성질을 이용하여, 특히 로그 및 유리 항으로 가중된 적분에 대한 새로운 적분 표현과 합 항등식을 수립한다. 주요 결과는 정수 인자에서의 리만 제타 함수 값으로 표현된다.

ABSTRACT

We present explicit expressions for multi-fold logarithmic integrals that are equivalent to sums over polygamma functions at integer argument. Such relations find application in perturbative quantum field theory, quantum chemistry, analytic number theory, and elsewhere. The analysis includes the use of properties of a variety of special functions.

연구 동기 및 목표

• 오일러 합과 제타 함수 값의 형태로 (k+1)-중 로그 적분의 명시적 평가를 도출하는 것.
• 정적분 형태의 로그 적분과 정수 인자에서의 다이감마 함수 합 사이의 관계를 설정하는 것.
• 생성함수와 적분 변환을 이용하여 교대 다이감마 함수 및 조화수 합에 대한 새로운 적분 표현을 제공하는 것.
• 유리 함수와 다중로그 함수를 포함하는 다이감마 합 및 적분에 대한 결과를 매개변수화된 형태로 확장하는 것.
• 특수 함수 항등식을 사용하여 알려진 오일러 합과 로그 적분에 대한 결과를 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 로그 적분과 조화수 합 사이의 관계를 유도하기 위해 부분적분과 생성함수를 사용하며, 특히 $\frac{1}{2}\ln^2(1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1}x^{k+1}$와 같은 항등식을 활용한다.
• 합계와 적분의 순서를 바꾸기 위해 감마 함수 적분 $\int_0^1 t^r \ln^{k-1}t \, dt = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(r+1)^k}$을 적용한다.
• 조화수 합에 대한 오일러의 항등식을 활용: $2\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^m} = (m+2)\zeta(m+1) - \sum_{n=1}^{m-2} \zeta(m-n)\zeta(n+1)$ for $m \geq 2$.
• 역 라플라스 변환과 다이감마 함수의 적분 표현을 사용하여 $\psi^{(k)}(\ell)/\ell$를 포함하는 합에 대한 대체 형태를 도출한다.
• 다이감마 및 다이감마 함수의 함수방정식, 특히 $\psi^{(j)}(x+1) = \psi^{(j)}(x) + (-1)^j j! x^{-j-1}$를 적용하여 합을 단순화한다.
• 로그 함수 $\ln(1-x)$와 $\text{Li}_s(-x)$의 급수 전개를 이용하고, 항별 적분을 통해 $[0,1]$에서의 유리 함수 가중치를 가진 적분을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$를 가진 (k+1)-중 로그 적분은 어떻게 제타 함수의 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 형태 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$의 합과 다이감마 함수 합 $\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell}$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 교대 다이감마 합 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$는 적분 변환 또는 다중로그 함수를 통해 표현될 수 있는가?
• RQ4 다이감마 함수 $\psi^{(j)}(n)$과 유리 함수를 포함하는 합에 대한 적분 표현은 무엇이 있는가? 예를 들어 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x) \ln^2 x}{1-x} dx$.
• RQ5 히르츠 제타 함수와 다이감마 함수의 함수방정식은 다중 로그 적분의 단순화에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 적분 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$는 $k \geq 1$일 때 $\frac{(-1)^{k+1}}{2} k! \left[(k+1)\zeta(k+2) - \sum_{n=1}^{k-1} \zeta(k-n+1)\zeta(n+1)\right]$로 평가된다.
• 합 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$는 $\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell} \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{k!}$와 동치이며, 조화수 합과 다이감마 함수 사이의 연결 고리를 제공한다.
• k=5일 때, 적분은 $-\frac{4}{3}\pi^4\zeta(3) - 20\pi^2\zeta(5) + 360\zeta(7)$로 평가되며, 명시적인 제타 함수 값 의존성을 보여준다.
• 적분 $I_2 = \int_0^1 \frac{\ln(1+t) \ln^2 t}{1-t} dt$는 $\frac{7}{2}\ln 2 \cdot \zeta(3) - \frac{19}{720}\pi^4$로 평가되며, 교대 다이감마 합을 통해 유도된다.
• 합 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$는 $\frac{1}{4}\int_0^1 \left[4\text{Li}_3(-t) + 3\zeta(3)\right]\frac{dt}{t-1} + \frac{3}{4}\gamma\zeta(3)$로 표현되며, 새로운 적분 표현을 제공한다.
• 중복 공식 $\psi^{(2)}(2x) = \frac{1}{8}\left[\psi^{(2)}(x) + \psi^{(2)}(x+\frac{1}{2})\right]$를 사용하여 항등식 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \psi^{(2)}(k) = -\frac{5}{2}\zeta(4)$가 유도된다.