[논문 리뷰] Some evaluation of cubic Euler sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 17.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼차 오일러 합을 평가하기 위해 Tornheim형 급수를 기반으로 한 새로운 접근법을 개발한다. 이는 $ S_{1^2m,m} $ 및 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 형태의 합이 리만 제타 함수 값, 이차 및 일차 합으로 환원됨을 증명한다. 또한 깊이 네 개인 다중 제타 함수 값 중 일부가 깊이 세 개 이하로 환원됨을 보이며, 교대 삼차 오일러 합의 환원성도 규명한다. 이는 교대 이차 및 일차 합으로의 환원을 포함한다.

ABSTRACT

P. Flajolet and B. Salvy \cite{FS1998} prove the famous theorem that a nonlinear Euler sum $S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$ reduces to a combination of sums of lower orders whenever the weight $i_1+i_2+\cdots+i_r+q$ and the order $r$ are of the same parity. In this article, we develop an approach to evaluate the cubic sums $S_{1^2m,p}$ and $S_{1l_1l_2,l_3}$. By using the approach, we establish some relations involving cubic, quadratic and linear Euler sums. Specially, we prove the cubic sums $S_{1^2m,m}$ and $S_{1(2l+1)^2,2l+1}$ are reducible to zeta values, quadratic and linear sums. Moreover, we prove that the two combined sums involving multiple zeta values of depth four \[\sum\limits_{\left\{ {i,j} ight\} \in \left\{ {1,2} ight\},i e j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} ight)}\quad { m and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} ight\} \in \left\{ {1,2,3} ight\},i e j e k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} ight)} \] can be expressed in terms of multiple zeta values of depth $\leq 3$, here $2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$. Finally, we evaluate the alternating cubic Euler sums ${S_{{{\bar 1}^3},2r + 1}}$ and show that it are reducible to alternating quadratic and linear Euler sums. The approach is based on Tornheim type series computations.

연구 동기 및 목표

• Tornheim형 급수를 활용하여 삼차 오일러 합 $ S_{1^2m,p} $ 와 $ S_{1l_1l_2,l_3} $ 를 체계적으로 평가하는 방법을 개발하는 것.
• 삼차 오일러 합이 제타 함수 값, 이차 및 일차 오일러 합으로 환원되는 조건을 규명하는 것.
• 깊이 네 개인 다중 제타 함수 값이 깊이 ≤3인 값으로 환원되는지 조사하는 것.
• 교대 삼차 오일러 합의 구조를 분석하고, 교대 이차 및 일차 합으로 환원됨을 증명하는 것.
• 플라조레트-살비 정리의 오일러 합 환원성에 대한 일반화를 삼차 및 교대 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 삼차 오일러 합 평가의 핵심 분석 프레임워크로 Tornheim형 급수 계산을 활용한다.
• 경로적분 표현과 잔여물 계산법을 적용하여 합과 다중 제타 함수 값을 연결한다.
• 조화수 항등식과 다중로그 함수 전개를 활용하여 복잡한 합을 분해한다.
• 일차 및 이차 합의 기존 평가 결과를 고차수 환원의 기초로 활용한다.
• 대수적 변환을 통해 깊이 네 개인 다중 제타 함수 값을 낮은 깊이의 값들로 표현한다.
• 기존의 교대 오일러 합 및 다중 제타 함수 값 결과를 활용하여 교대 삼차 합의 닫힌 형태를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼차 오일러 합 $ S_{1^2m,m} $ 와 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 는 제타 함수 값, 이차 및 일차 합으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 합 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ 와 $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ 는 깊이 ≤3인 다중 제타 함수 값으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 교대 삼차 오일러 합 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ 는 교대 이차 및 일차 오일러 합으로 환원될 수 있는가?
• RQ4 깊이 네 개인 다중 제타 함수 값의 구조는 어떠한가? 그리고 깊이 세 개인 값들로 단순화될 수 있는가?
• RQ5 Tornheim형 급수를 통해 플라조레트-살비 프레임워크를 초월한 비선형 오일러 합 평가에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 삼차 합 $ S_{1^2m,m} $ 와 $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ 는 제타 함수 값, 이차 및 일차 오일러 합으로 환원 가능하다.
• 조건 $ m_i eq m_j $, $ m_i,m_j eq 1 $ 를 만족하는 합 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ 는 깊이 ≤3인 다중 제타 함수 값으로 환원된다.
• 조건 $ m_i,m_j,m_k eq 1 $ 를 만족하는 합 $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ 도 깊이 세 개인 다중 제타 함수 값으로 환원된다.
• 교대 삼차 오일러 합 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ 는 교대 이차 및 일차 오일러 합으로 환원 가능하다.
• 특수 평가 $ S_{ar{1}^3,3} $ 는 $ \text{Li}_5(1/2) $, $ \ln 2 $ 의 거듭제곱, 제타 함수 값, $ \zeta^*(\bar{5},\bar{1}) $, $ \zeta^*(4,\bar{2}) $ 를 포함하는 닫힌 형태를 얻는다.
• 항등식 $ \zeta^*(\bar{4},2) + 4\zeta^*(\bar{5},1) = -\frac{1105}{192}\zeta(6) + \frac{3}{4}\zeta^2(3) $ 는 합 분해 및 기존 관계식을 통해 확인된다.