[논문 리뷰] Some Formulas for Numbers of Restricted Words

Milan Janjić|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 04.

semigroups and automata theory참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초기 산술 함수 $ f_0 $ 의 반복 역변환을 사용하여 정수 분할을 $ k $ 개의 부분으로 일반화한 구성 함수 $ c_m(n,k) $ 를 도입한다. 이 함수는 $ c_m(n,k) $ 가 부분 벨 다항식, 파스칼 행렬, 유한 알파벳 위의 제한된 단어와 연결됨을 보여주며, 핵심 기여는 크기가 $ N $ 인 알파벳에서 $ N+1 $ 로의 단어 세기 성질을 승계하는 재귀적 전이 방법을 제시하는 것이다. 이는 $ c_m(n,k) $ 를 통해 제한된 단어를 세는 데 활용되며, 특정 $ f_0 $ 에 대해 명시적인 공식이 유도된다. 예를 들어 $ f_0(1)=1 $ 또는 $ n>1 $ 에서 $ f_0(n)=1 $ 이다.

ABSTRACT

We define a quantity $c_m(n,k)$ as a generalization of the notion of the composition of the positive integer $n$ into $k$ parts. We proceed to derive some known properties of this quantity. In particular, we relate two partial Bell polynomials, in which the sequence of the variables of one polynomial is the invert transform of the sequence of the variables of the other. We connect the quantities $c_m(n,k)$ and $c_{m-1}(n,k)$ via Pascal matrices. We then relate $c_m(n,k)$ with the numbers of some restricted words over a finite alphabet. We develop a method which transfers some properties of restricted words over an alphabet of $N$ letters to the restricted words over an alphabet of $N+1$ letters. Several examples illustrate our findings. Note that all our results depend solely on the initial arithmetic function $f_0$.

연구 동기 및 목표

• 표준 정수 분할을 초기 산술 함수 $ f_0 $ 의 반복 역변환을 사용하여 일반화한 구성 함수 $ c_m(n,k) $ 를 개발한다.
• partial Bell 다항식과 $ c_m(n,k) $ 간의 연결 고리를 확립하여, $ c_m(n,k) $ 가 $ f_{m-1} $ 에서 유도된 변수를 가진 가중 분할에서 유래됨을 보여준다.
• 하삼각 파스칼 행렬을 사용한 행렬 기반 재귀식을 유도하여 $ c_m(n,k) $ 와 $ c_{m-1}(n,k) $ 를 연결함으로써 재귀적 계산을 가능하게 한다.
• 알파벳 크기 $ N $ 에서의 제한된 단어 성질을 $ f_0 $ 의 구조에 기반해 $ N+1 $ 개의 문자로의 체계적 확장을 제공한다.
• 특정 $ f_0 $ 에 대해 명시적인 조합적 해석과 닫힌 형태 공식을 제시하며, 이는 $ f_0(1)=1 $ 또는 $ n>1 $ 에서 $ f_0(n)=1 $ 인 경우를 포함하여 이진 및 삼진 단어 수와 연결된다.

제안 방법

• 함수 $ c_m(n,k) $ 는 기저 사례 $ c_m(0,0)=1 $, $ c_m(n,0)=0 $ ($ n>0 $) 를 포함해 재귀적으로 정의되며, $ c_m(n,k) = \sum_{i=1}^{n-k+1} f_{m-1}(i) c_m(n-i,k-1) $ 이다. 이는 표준 분할을 일반화한다.
• 표준 분할을 일반화한 $ c_m(n,k) $ 가 부분 벨 다항식과 같음을 증명하며, $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $ 라는 식을 유도함으로써, 이는 $ i!f_{m-1}(i) $ 를 변수로 하는 정규화된 부분 벨 다항식임을 보여준다.
• 수열 간의 역변환 관계를 이용해 $ c_m(n,k) $ 와 $ c_{m-1}(n,k) $ 를 연결하며, 이 변환이 하삼각 파스칼 행렬의 곱셈에 해당됨을 보여준다.
• 식 (9) 를 통해 전이 공식을 도출하며, $ c_m(n,k) = \sum_{t=0}^{n-k} {k+t-1 \choose t} c_{m-1}(n,k+t) $ 라는 식을 통해 $ m-1 $ 에서 $ m $ 으로의 재귀적 승계를 가능하게 한다.
• 특정 $ f_0 $ 에 적용: $ f_0(1)=1 $ 이면 $ c_1(n,k) $ 는 부분이 $ \geq 2 $ 인 분할을 세며, $ c_m(n,k) $ 는 $ \{0,1,\ldots,m\} $ 에서의 고립된 비영인 문자를 가진 제한된 단어를 세는 데 사용된다.
• 조합적 이분법과 이항 항등식을 활용해 닫힌 형태의 표현을 도출하며, 예를 들어 $ f_0(n)=1 $ ($ n>1 $) 일 때 $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $ 와 같은 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 정수 분할의 개념을 반복된 역변환을 통해 가중 또는 제한된 분할로 일반화하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 $ c_m(n,k) $ 와 부분 벨 다항식 간의 관계는 무엇이며, 이 연결 고리는 가중 분할의 조합적 구조를 어떻게 드러내는가?
• RQ3 크기 $ N $ 의 알파벳에서의 제한된 단어 성질을 $ f_0 $ 의 구조에 기반해 $ N+1 $ 개의 문자로의 체계적 확장을 어떻게 수행할 수 있는가?
• RQ4 초기 함수 $ f_0 $ 가 $ f_0(1)=1 $ 또는 $ n>1 $ 에서 $ f_0(n)=1 $ 과 같이 지정된 경우, $ c_m(n,k) $ 에 대해 유도할 수 있는 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ5 파스칼 행렬과 이항 항등식은 다양한 $ m $ 과 $ k $ 에 대해 $ c_m(n,k) $ 의 재귀적 계산과 구조 분석을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• $ c_m(n,n) = f_{m-1}(1)^n $ 이 성립함을 보여주며, 대각선 항목이 $ (m-1) $-번째 역변환의 첫 번째 값에만 의존함을 시사한다.
• 식 (4) 는 $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $ 를 증명하며, 이는 $ c_m(n,k) $ 가 $ i!f_{m-1}(i) $ 를 변수로 하는 정규화된 부분 벨 다항식임을 보여준다.
• 식 (5) 는 $ c_m(n,k) = \sum_{i_1+\cdots+i_k=n} f_{m-1}(i_1)\cdots f_{m-1}(i_k) $ 를 보여주며, 이는 $ n $ 을 $ k $ 개의 양의 부분으로 나누는 가중 분할을 세는 것으로, 각 부분의 무게는 $ f_{m-1}(i) $ 이다.
• $ f_0(1)=1 $ 이면, 논문은 $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $ 를 유도하며, 이는 고립된 비영인 문자를 가진 제한된 단어에 대한 닫힌 형태를 제공한다.
• 보조정리 29 는 $ f_0(n)=1 $ ($ n>1 $) 일 때, $ c_m(n,k) $ 가 길이 $ n-3 $ 인 $ \{0,1,\ldots,m\} $ 의 단어를 세며, $ k-1 $ 개의 1이 모두 고립되어 있고, 연속된 비영인 문자가 없음을 의미한다.
• 보조정리 31 은 $ f_0(2)=f_0(3)=1 $, $ f_0(n)=0 $ ($ n\neq 2,3 $) 일 때, $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {k+j \choose n-2k-2j} $ 를 제시하며, 이는 고립된 비영인 문자를 가지며, 0의 연속 길이가 2를 초과하지 않는 단어를 세는 데 사용된다.