[논문 리뷰] Some Hopf Algebras of Trees

P. van der Laan|ArXiv.org|2001. 06. 28.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 뿌리가 있는 트리의 Connes-Kreimer 호프 대수를 일반화하며, 자유 n-항 연산을 갖는 오ペ라드 기반의 구성법을 도입하여 색이 칠해진 다항식과 라벨이 부여된 트리에 대한 보편 호프 대수의 구조를 얻는다. 코곱과 쌍대 리 괄호에 대한 명시적 공식을 수립하고, 특수한 경우가 기존의 대수들—예를 들어 평면 이진 트리의 Loday-Ronco 호프 대수와 Brouder-Frabetti 자르기 대수—를 복원함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper generalizes the operadic construction of the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees by Moerdijk. Examples of Hopf algebras obtained in this way include the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees and the Brouder-Frabetti pruning Hopf algebra. In some examples we obtain a natural pre-Lie or dendriform algebra structure on the dual Hopf algebra. v2: Proof in section 8 corrected. v3: more corrections.

연구 동기 및 목표

• 다양한 트리 호프 대수들을 하나의 오페라드 구성에 통합하고자 한다.
• Connes-Kreimer 호프 대수를 색이 칠해진 간선과 라벨이 부여된 정점을 갖는 트리로 일반화하고자 한다.
• 유도된 호프 대수들에 대해 코알제브라 Hochschild 코hom로지에서 보편 성질을 확립하고자 한다.
• 쌍대 대수에서 코곱과 리 괄호에 대한 명시적 공식을 유도하고자 한다.
• 이 구성의 특수한 경우가 Loday-Ronco와 Brouder-Frabetti 대수를 포함한 알려진 트리 호프 대수들을 복원함을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 호프 오페라드 $\mathsf{P}$에 자유 $n$-항 연산을 추가하여 호프 대수 $\mathsf{P}[\lambda_n]$를 구성함으로써, Connes-Kreimer 구성의 일반화를 수행한다.
• 트리의 허용 가능한 컷을 사용하여 코곱 $\Delta(t) = \sum_{c \in C(t)} P^c(t) \otimes R^c(t)$를 정의하며, 여기서 $C(t)$는 허용 가능한 컷의 집합이다.
• Moerdijk의 오페라드 기법을 응용하여 구성법을 색이 칠해진 다항식과 라벨이 부여된 트리로 확장한다.
• 접합 연산을 통해 결합법을 정의하고, 덴드리포름 연산 $\prec$와 $\succ$가 만족하는 덴드리포름 항등식을 보장하는 등 그레디에이션 보존을 증명한다.
• 유도를 통해 코곱의 코애소시아티비티를 확립하며, 일반적 구성에서 $k=n$ 및 $l=1$일 때에만 성립함을 보여준다.
• 쌍대성 기법을 사용하여 결합법을 쌍대 공간으로 이 trasfer하여, 코미터티브 호프 대수의 구조를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문헌에서 연구된 다양한 트리 호프 대수들을 하나의 오페라드 구성으로 통합할 수 있는가?
• RQ2 코알제브라 Hochschild 코호모로지에서 일반화된 호프 대수 $\mathsf{P}[\lambda_n]$는 어떤 보편 성질을 만족하는가?
• RQ3 $\mathsf{P}[\lambda_n]$에서 코곱이 코애소시아티브로 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 결합법에서 유도된 덴드리포름 연산 $\prec$와 $\succ$는 어떻게 유도되며, 그레디에이션을 보존하는가?
• RQ5 기존의 트리 호프 대수 중 어떤 것이 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ 구성의 특수한 경우로 복원되는가?

주요 결과

• 논문은 이전 연구에서 인도적 정의를 사용한 호프 대수 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$의 코곱에 대해 명시적이고 비인도적 공식을 제공한다.
• 호프 대수 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$의 쌍대는 자연스러운 리 괄호를 지니며, 원천이 된 단일 뿌리 트리에 대응하는 원소들이 프리미티브 원소임을 보여준다.
• 일반적인 구성에서 $k=n$ 및 $l=1$일 때, 증가의 이상에서 덴드리포름 호프 대수의 구조를 얻으며, 이는 덴드리포름 항등식을 만족한다.
• Loday-Ronco의 평면 이진 트리 호프 대수는 $\mathsf{P} = \mathsf{P}_2$일 때 $q_{12} = q_{21} = 1$ 및 $q_{11} = q_{22} = 0$로 설정하면 특수한 경우로 복원된다.
• Brouder-Frabetti의 자르기 호프 대수 역시 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ 구성의 특수한 경우로 복원된다.
• 코곱의 코애소시아티비티가 $k=n$, $l=1$ 이외의 $k$와 $l$의 선택에 대해서는 실패하는 이유는 곱 $*$의 비가환성 때문이다.