[논문 리뷰] Some New Results on the Cross Correlation of $m$-sequences

Tao Zhang, Shuxing Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조건 $\gcd(r,3) = 1$ 하에 주기 $3^{3r}-1$인 삼진 $m$-시퀀스의 교차상관 분포를 $d = 3^r + 2$ 및 $d = 3^{2r} + 2$의 디케이메이션으로 결정하며, 주기 $2^{2lm}-1$인 이진 $m$-시퀀스의 교차상관 성질을 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$로 조사하여 최소 네 가지 값으로 이루어지며, Sarwate 등과 Helleseth의 두 주요 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The determination of the cross correlation between an $m$-sequence and its decimated sequence has been a long-standing research problem. Considering a ternary $m$-sequence of period $3^{3r}-1$, we determine the cross correlation distribution for decimations $d=3^{r}+2$ and $d=3^{2r}+2$, where $\gcd(r,3)=1$. Meanwhile, for a binary $m$-sequence of period $2^{2lm}-1$, we make an initial investigation for the decimation $d=\frac{2^{2lm}-1}{2^{m}+1}+2^{s}$, where $l \ge 2$ is even and $0 \le s \le 2m-1$. It is shown that the cross correlation takes at least four values. Furthermore, we confirm the validity of two famous conjectures due to Sarwate et al. and Helleseth in this case.

연구 동기 및 목표

• 조건 $\gcd(r,3) = 1$ 하에 주기 $3^{3r}-1$인 삼진 $m$-시퀀스의 디케이메이션 $d = 3^r + 2$ 및 $d = 3^{2r} + 2$에 대한 교차상관 분포를 결정하는 것.
• 주기 $2^{2lm}-1$인 이진 $m$-시퀀스의 디케이메이션 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$에 대한 교차상관 성질을 조사하는 것. 여기서 $l \geq 2$는 짝수이며 $0 \leq s \leq 2m-1$이다.
• 이 새로운 디케이메이션 프레임워크 내에서 Sarwate 등과 Helleseth의 오랫동안 남아있던 두 추측의 타당성을 확인하는 것.
• 이진 케이스에서 교차상관 함수가 최소 네 개의 서로 다른 값을 가지며, 기존의 세 값 이하의 경계를 초월함을 입증하는 것.

제안 방법

• 교차상관 함수는 Weil 합을 통해 분석되며, $ C_d(z) = \sum_{x \in \text{GF}(p^n)^*} \chi(zx - x^d) $로 표현되며, 여기서 $ \chi(x) = \omega^{\text{Tr}(x)} $이다.
• 삼진 케이스에서는 Dobbertin 및 Feng 등이 제안한 대칭 기법을 응용하여 유한체와 캐릭터 합의 구조를 활용한다.
• 이진 케이스에서는 곱셈군 $ \text{GF}(2^{4m})^* $를 부분군 $ C_0 $ 및 $ D_0 $의 코셋으로 분해하고, 이 코셋들 내에서 $ zx + x^{d2^{-s}} $의 분포를 분석한다.
• 방정식 $ (zx + x^{d2^{-s}})^{(2^{4m}-1)/(2^m+1)} = 1 $의 해의 수를 사용하여 교차상관 값과 연관지운다.
• 저자들은 $ n_i(z) $를 정의하여 $ zx + x^{d2^{-s}} \in C_i $인 $ x $의 수를 나타내며, 이를 통해 교차상관 값에 해당하는 합 $ S_d(z) $를 계산한다.
• 증명은 군 작용 하에서의 해의 수를 세고, 이진 케이스에서 순환 코셋과 딕슨 다항식의 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 $\gcd(r,3) = 1$ 하에 주기 $3^{3r}-1$인 삼진 $m$-시퀀스의 디케이메이션 $d = 3^r + 2$에 대한 정확한 교차상관 분포는 무엇인가요?
• RQ2 주기 $2^{2lm}-1$인 이진 $m$-시퀀스의 디케이메이션 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$에 대해 교차상관 함수가 최소 네 가지 서로 다른 값을 가지는가요?
• RQ3 Sarwate 등과 Helleseth의 추측은 짝수인 $l \geq 2$에 대해 디케이메이션 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$에 대해 유효한가요?
• RQ4 이진 케이스에서 교차상관 분포는 완전히 결정될 수 있는가, 아니면 네 개 이상의 값을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 조건 $\gcd(r,3) = 1$ 하에 디케이메이션 $d = 3^r + 2$ 및 $d = 3^{2r} + 2$를 갖는 삼진 $m$-시퀀스의 교차상관 분포는 완전히 결정되었으며, $\gcd(r,3) = 1$ 케이스와 일치하는 분포를 보인다.
• 디케이메이션 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$를 갖는 이진 $m$-시퀀스의 경우, 교차상관 함수는 최소 네 가지 서로 다른 값을 가지며, 기존의 세 값 이하의 최소값을 초월하는 하한을 확인한다.
• 교차상관 합 $ S_d(z) $는 최소 두 가지의 서로 다른 양수 값을 가지며, 그 중 하나는 최소 $ 2^{2m+1} $ 이상이므로 비트리버스한 분포를 나타낸다.
• 만약 $ u = (d2^{-s} + 1, 2^m + 1) = 2^m + 1 $이라면, $ z \neq 1 $일 때 $ S_d(z) = 2^{3m} $이며, $ S_d(1) = 0 $이므로 값 간 명확한 분리가 이루어진다.
• 저자들은 이 디케이메이션에 대해 Sarwate 등과 Helleseth의 유명한 두 추측이 참임을 확인한다. 이는 분포의 복잡성에도 불구하고 성립한다.
• 수치 실험 결과 교차상관이 여덟 가지 이상의 값을 가질 수 있음을 시사하며, 이는 전체 분포를 완전히 규명하는 것이 여전히 도전적인 열린 문제임을 시사한다.