[논문 리뷰] Some properties of the rate function of quenched large deviations for random walk in random environment

Alexis Devulder|arXiv (Cornell University)|2005. 02. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일차원의 랜덤 환경 속에서의 랜덤 워크에 대한 고정된 대칭성의 큰 변화율 비율 함수가 영 근처에서 무한한 두 번째 도함수를 갖는다는 것을 증명하며, 그레벤과 덴홀랜더의 추측을 확인한다. 히팅 타임 분석과 점근적 추정을 통해, 이는 랜덤 워크의 대칭성과 관련된 비율 함수가 동일한 속도를 갖는 브라운 운동보다 엄격히 작다는 것을 증명하며, RWRE 문제에 대한 연속적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we are interested in some questions of Greven and den Hollander about the rate function $I\_η^q$ of quenched large deviations for random walk in random environment. By studying the hitting times of RWRE, we prove that in the recurrent case, $\lim\_{θ o 0^+}(I\_η^q)''(θ)=+\infty$, which gives an affirmative answer to a conjecture of Greven and den Hollander. We also establish a comparison result between the rate function of quenched large deviations for a diffusion in a drifted Brownian potential, and the rate function for a drifted Brownian motion with the same speed.

연구 동기 및 목표

• 재귀적인 랜덤 환경 속에서의 랜덤 워크에 대한 고정된 대칭성의 큰 변화율 비율 함수의 영 근처에서의 행동에 관한 그레벤과 덴홀랜더의 개방 문제 2를 해결하는 것.
• 비율 함수의 성질을 확보하기 위해, RWRE의 히팅 타임의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 그레벤과 덴홀랜더가 추측한 lin, 고정된 속도를 갖는 RWRE의 비율 함수가 동일한 속도를 갖는 단순 랜덤 워크의 비율 함수보다 작다는 것을 증명하는 것.
• 스케일링 근사와 확률 미분 방정식을 통해, 브록스 유형의 확산과 브라운 운동 간의 비교를 통해 연속적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 모멘트 생성 함수 추정을 사용하여 랜덤 환경 속에서의 랜덤 워크의 히팅 타임 τ₁을 분석한다.
• r → 0⁺ 일 때 E[τ₁^α e^{-rτ₁}]의 점근적 행동을 도출하여, 지수 α에 대한 다항식 성장을 보여준다.
• 고정된 측도 Pω에 대한 대칭성 이론을 적용하여 비율 함수 Iηq의 존재성과 볼록성을 확립한다.
• 스케일링 근사와 확률 미분 방정식을 통해 브록스 확산과 RWRE 간의 연결을 활용한다.
• 수정된 비제르 함수와 점근적 전개를 사용하여 확산의 원산지 생성 함수 Γκ(λ)를 분석한다.
• 미분 방정식과 급수 전개를 통해 동일한 속도를 갖는 브라운 운동의 원산지 생성 함수와 확산의 원산지 생성 함수를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적인 RWRE에 대한 고정된 비율 함수 Iηq는 θ → 0⁺ 일 때 (Iηq)''(θ) → +∞ 를 만족하는가?
• RQ2 편향이 있는 브록스 유형의 확산에 대한 비율 함수가 동일한 속도를 갖는 브라운 운동의 비율 함수보다 엄격히 작은가를 증명할 수 있는가?
• RQ3 고정된 RWRE 비율 함수가 동일한 속도를 갖는 단순 랜덤 워크의 비율 함수보다 작다는 추측에 대한 연속적 해석이 존재하는가?
• RQ4 재귀적인 RWRE의 히팅 타임의 모멘트 생성 함수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?

주요 결과

• θ → 0⁺ 일 때 고정된 비율 함수 Iηq의 두 번째 도함수가 무한히 발산하며, 그레벤과 덴홀랜더의 추측을 확인한다.
• 모든 α > 0 에 대해, 히팅 타임 τ₁의 모멘트 생성 함수는 r → 0⁺ 일 때 E[τ₁^α e^{-rτ₁}] = (1/r)^{α + o(1)} 를 만족한다.
• 브로크스 확산의 원산지 생성 함수 Γκ(λ)는 모든 λ > 0 에 대해 Γκ(λ) < φvκ(λ) 를 만족하며, 여기서 φvκ는 속도 vκ를 갖는 브라운 운동의 원산지 생성 함수이다.
• 확산의 비율 함수 Jκ(x)는 모든 x > vκ 에 대해 Jκ(x) < (1/2)(x - vκ)^2 를 만족하며, 이는 브라운 운동 비율 함수에 대한 엄격한 지배성을 증명한다.
• Γκ(λ)의 점근적 전개는 λ → ∞ 일 때 Γκ(λ) = √(2λ) - (1/4)(κ - 1/2) + O(1/√λ) 를 만족한다.
• 비교 결과는 모든 κ ≥ 0 에 대해 성립하며, 등호는 오직 κ = 1/2 일 때에만 성립하며, 이 경우 확산은 편향이 있는 브라운 운동으로 축소된다.