[논문 리뷰] Some properties of the theory of n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|2001. 10. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순화된 범주와 세갈 공간을 사용하여 $n$-범주 이론의 드위어-칸 국소화를 특징짓는 10개의 호모토피적 및 범주론적 성질을 제안한다. 이러한 성질들이 맵핑 대상 간의 잘 정의된 복합 법칙의 존재를 이끌어내며, 국소화된 호모토피 범주의 동치를 통해 다양한 $n$-범주 정의 간의 비교를 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Let $L_n$ denote the Dwyer-Kan localization of the category of weak n-categories divided by the n-equivalences. We propose a list of properties that this simplicial category is likely to have, and conjecture that these properties characterize $L_n$ up to equivalence. We show, using these properties, how to obtain the morphism $n-1$-categories between two points in an object of $L_n$ and how to obtain the composition map between the morphism objects.

연구 동기 및 목표

• 합리적인 $n$-범주 이론이 만족해야 할 최소한의 구조적 성질 집합을 규명하는 것.
• 드위어-칸 국소화를 기반으로 한 호모토피적 프레임워크를 제공하여 다양한 $n$-범주 정의를 비교하는 것.
• 이 성질들이 $n$-범주 내 맵핑 대상 간 복합 법칙을 유일하게 결정함을 보여주는 것.
• 모든 주요 $n$-범주 정의(예: 탐사마니, 바타닌, 레인스터)가 이 성질들을 만족할 것이라는 추측을 제기하며, 제안된 프레임워크 하에서 그 동치성을 암시하는 것.
• 특정 구축에 의존하지 않는 $n$-범주에 대한 보편적 특성화의 기초를 다지는 것.

제안 방법

• strict $n$-동치를 갖는 $n$-범주들의 1-범주로부터 드위어-칸 국소화를 사용해 단순화된 범주 $\mathcal{L}_n$를 구성하는 것.
• $\mathcal{L}_n$을 $n$-범주들의 $n+1$-범주에서의 1-군적 내부로 정의하여 고차 사상 중에서 역원이 존재하는 것들만 유지하는 것.
• 호모토피 쌍대곱을 통한 사상의 순차적 복합을 모델링하기 위해 함자 $\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k)$를 도입하는 것.
• 핵심 구조적 성질로, $H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k$ 라는 등가성을 확립하는 것(성질 10).
• 첨도와 쌍대곱의 보편 성질을 사용하여 $\mathcal{L}_n$의 구조로부터 복합 사상 $H(X,\{x,y\}) \times H(X,\{y,z\}) \to H(X,\{x,z\})$ 를 유도하는 것.
• 이 성질들에 의해 유도되는 함자 $\mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}}$ 가 동치임을 제안하며, 이는 전체적인 특성화를 암시하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 정의에 걸쳐 $n$-범주 이론을 특징짓는 균일한 호모토피적 및 범주론적 성질 집합을 찾을 수 있는가?
• RQ2 모든 $n$-동치에 대해 국소화된 $n$-범주의 1-범주인 드위어-칸 국소화가 $n$-범주 이론 간 비교를 위한 보편적 불변량을 제공하는가?
• RQ3 맵핑 대상 간 복합 법칙이 국소화된 단순화된 범주 구조의 구조적 성질들로부터 순수하게 유도될 수 있는가?
• RQ4 기존의 $n$-범주 정의들(예: 탐사마니)이 제안된 10개 성질을 만족하는가? 만약 그렇다면 이는 그들의 동치성을 암시하는가?
• RQ5 $\mathcal{L}_n$에서 탐사마니 $n$-범주 국소화로 가는 함자 $\mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}}$ 가 동치인가? 이는 추측된 특성화를 검증하는 데 기여한다.

주요 결과

• 맵핑 대상 간 복합 법칙은 드위어-칸 국소화된 단순화된 범주 $\mathcal{L}_n$의 구조적 성질로부터 파생된다.
• 성질 10, 즉 $H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k$ 는 복합 법칙을 구성하는 데 핵심적인 구조적 조건으로 규명된다.
• 탐사마니의 $n$-범주 정의는 제안된 10개 성질을 모두 만족하며, 이는 추측에 대한 강력한 증거를 제공한다.
• 복합 법칙의 구성은 특정 모델에 대한 참조 없이 단지 단순화된 범주 구조와 첨도의 성질에 의존한다.
• 모든 $n$-범주 정의가 이 성질들을 만족할 것이라는 추측이 성립한다면, 드위어-칸 국소화를 통한 동치성으로 이어져 호모토피적 의미에서 비교 문제를 해결할 수 있다.
• 이 프레임워크는 $\mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}}$ 를 통해 $n$-범주를 제안된 성질들을 통해 보편적으로 특성화할 수 있음을 암시한다.