[논문 리뷰] Some results on the penalised nematic liquid crystals driven by multiplicative noise

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 31.

Stochastic processes and financial applications인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 다중 소음 하에서 펜리티된 난류 액정을 모델링하는 스토하스틱 편미분방정식계의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 2차원에서 전역 약한 해와 경로 유일성을 증명하며, 표준 기니즈부르크-랜다우 페널티 대신 일반 다항식을 사용하고, 혼합 바나흐 공간에서의 새로운 고정점 방법을 적용하여 국소 강한 해를 구한다. 이는 2차원에서 전역 해로 확장된다.

ABSTRACT

In this paper we prove several results related to the existence and uniqueness of solution to coupled highly nonlinear stochastic partial differential equations (PDEs). These equations are motivated by the dynamics of nematic liquid crystals under the influence of stochastic external forces. Firstly, we prove the existence of global weak solution (in sense of both stochastic analysis and PDEs). We show the pathwise uniqueness of the solution in 2D domain. Secondly, we establish the existence and uniqueness of local maximal solution which is strong in sense of both PDEs and stochastic analysis. In the 2D case, we show that this solution is global. In contrast to several works in the deterministic setting we replace the Ginzburg-Landau function ${1}_{\lvert \mathbf{n} vert \le 1}(\lvert \mathbf{n} vert^2-1)\mathbf{n}$ by a general polynomial $f(\mathbf{n})$ and we give sufficient conditions on the polynomial $f$ for the aforementioned results to hold. As a by-product of our investigation we present a general method based on fixed point argument to establish the existence and uniqueness of a local maximal solution of an abstract stochastic evolution equations with coefficients satisfying local Lipschitz condition involving the norms of two different Banach spaces. This general method can be used to treat several stochastic hydrodynamical models such as Navier-Stokes, Magnetohydrodynamic (MHD) equations, and the $α$-models of Navier-Stokes equations and their MHD counterparts.

연구 동기 및 목표

• 다중 소음 하에서 난류 액정의 스토하스틱 모델에 대한 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 표준 기니즈부르크-랜다우 페널티 항을 일반 다항식 $ f(\mathbf{n}) $로 대체하고, 잘 정의된 문제를 위한 $ f $ 에 대한 충분조건을 규명한다.
• 두 개의 서로 다른 바나흐 공간에서 국소 리프시츠 조건을 만족하는 계수를 갖는 추상 스토하스틱 진화방정식에 대한 일반 고정점 방법을 개발한다.
• 이 방법을 다양한 스토하스틱 유체역학 모델, 즉 레이놀즈 평균 방정식, MHD, $\alpha$-모델 등으로 확장한다.
• 2차원에서 경로 유일성과 전역 해 존재성을 증명하며, 비타원성과 고도로 비선형성의 도전 과제를 극복한다.

제안 방법

• 표준 $ \mathbf{n}(|\mathbf{n}|^2 - 1) $ 대신 일반 다항식 $ f(\mathbf{n}) $로 대체한 다중 소음이 작용하는 펜리티된 난류 액정 시스템을 수립한다.
• 적절한 바나흐 공간의 곱공간에서 고정점 추론을 적용하여 국소 최대 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 이토 공식과 가중 지수 마틴갈 인자 $ \Phi(t) = \exp\left(-\int_0^t \phi(s)ds\right) $ 를 사용한 에너지 추정을 통해 해의 성장률을 통제한다.
• 버크홀더-데이비스-건디 부등식과 얀의 부등식을 적용하여 스토하스틱 적분과 노이즈 항을 다룬다.
• 에너지 추정에 그론월의 부등식을 적용하여 모멘트 유계를 도출하고 경로 유일성을 확립한다.
• 시스템의 구조와 페널티 항의 성질을 활용하여 해가 적절한 함수 공간에 머물도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 $ f(\mathbf{n}) $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 난류 액정을 위한 펜리티된 스토하스틱 방정식계가 전역 약한 해를 갖는가?
• RQ2 다중 소음 하에서 2차원 영역에서 스토하스틱 난류 액정 방정식계에 대해 경로 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 두 개의 서로 다른 바나흐 공간에서 국소 리프시츠 조건을 만족하는 계수를 갖는 추상 스토하스틱 PDE에 대해 국소 최대 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 사용할 수 있는 일반적 방법은 무엇인가?
• RQ4 표준 기니즈부르크-랜다우 페널티를 일반 다항식으로 대체할 경우, 시스템의 잘 정의된 문제 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 스토하스틱 난류 액정 방정식계의 국소 강한 해는 2차원에서 전역적인가?

주요 결과

• 논문은 2차원 및 3차원 영역에서 펜리티된 스토하스틱 난류 액정 방정식계에 대해 전역 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 2차원에서 해의 경로 유일성이 확립되었으며, 이는 국소 강한 해의 존재성과 결합되어 2차원에서의 전역 존재성을 암시한다.
• 다항식 $ f(\mathbf{n}) $ 에 대한 미약한 조건 하에서 국소 최대 강한 해가 존재하고, 이는 확률적 분석과 PDE 측면에서 모두 유일하다.
• 해는 2차원에서 전역적이며, 주어진 가정 하에 전체 시간 간격 $ (0,T] $ 에서 잘 정의된 문제 성질이 유지된다.
• 다항식 $ f(\mathbf{n}) $ 에 대해 다항식 성장과 정규성 등의 충분조건을 제시하여 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 일반 고정점 방법을 개발하고 추상 스토하스틱 진화방정식에 적용하였으며, 이는 다중 소음이 작용하는 레이놀즈 평균 방정식, MHD, $\alpha$-모델의 분석에 활용될 수 있다.