[논문 리뷰] Some Solutions of Fractional Order Partial Differential Equations Using Adomian Decomposition Method

Iqra Javed, Ashfaq Ahmad외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 캐프토(Caputo) 도수를 갖는 비선형 분수계수 편미분방정식(PDEs)을 해결하기 위해 아도미안 분해법(ADM)을 적용하며, 해를 수렴하는 급수 형태로 표현한다. 정확한 해와 비교할 때 이 방법은 높은 정확도와 수렴성을 보이며, 수치적 및 해석적 맥락에서 분수계수 PDEs에 대한 효과성을 확인한다.

ABSTRACT

The Adomian decomposition method is a semi-analytical method for solving ordinary and partial nonlinear differential equations. The aim of this paper is to apply Adomian decomposition method to obtain approximate solutions of nonlinear fractional order partial differential equations with fractional derivatives. The fractional derivatives are taken in the sense of Caputo. The solutions of fractional PDEs are calculated in the form of convergent series. Approximate solutions obtained through the decomposition method have been numerically evaluated, and presented in the form of graphs and tables, and then these solutions are compared with the exact solutions and the results rendering the explicitness, effectiveness and good accuracy of the applied method. Finally, it is observed that the applied method (i.e. Adomian decomposition method) is prevailing and convergent method for the solutions of nonlinear fractional-order partial deferential problems.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수계수 편미분방정식을 해결하기 위해 아도미안 분해법(ADM)을 개발하고 적용하는 것.
• 캐프토 도수를 갖는 분수계수 PDEs에 대한 ADM 해의 수렴성과 정확도를 조사하는 것.
• 수치 표와 그래픽 표현을 사용하여 근사 ADM 해와 정확한 해를 비교하는 것.
• 복잡한 분수계수 PDEs를 다룰 때 ADM의 효과성과 신뢰성을 검증하는 것.
• 다양한 비선형성과 분수계수를 갖는 여러 테스트 케이스를 통해 방법의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 비선형 분수계수 PDEs를 순차적 구성요소로 분해하기 위해 아도미안 분해법이 사용된다.
• 분수도는 캐프토 정의에 따라 정의되어 고전적인 초기 조건을 사용할 수 있다.
• 해는 각각 비선형 항에 대한 아도미안 다항식을 사용해 반복적으로 계산되는 구성요소로 이루어진 무한급수 형태로 표현된다.
• 이 방법은 원래 PDE를 표준 해석적 또는 수치적 기법으로 해결할 수 있는 선형 부분문제의 순차적 시퀀스로 변환한다.
• 급수 해의 수렴성을 분석하고, 계산 도구를 사용하여 수치적 평가를 수행한다.
• 근사 ADM 해와 정확한 해를 비교하기 위해 그래프와 표를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아도미안 분해법은 비선형 분수계수 PDEs에 대해 근사 해를 효과적으로 생성할 수 있는가?
• RQ2 캐프토 도수를 갖는 분수계수 PDEs에 대해 ADM 해는 정확한 해와 비교할 때 얼마나 정확한가?
• RQ3 다양한 분수계수 PDEs에 대해 ADM 해는 빠르고 신뢰성 있게 수렴하는가?
• RQ4 다른 분수계수와 비선형 항은 해의 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 ADM 해의 그래픽 및 표 형태 표현은 방법의 정확도와 안정성을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• ADM는 캐프토 도수를 갖는 비선형 분수계수 PDEs에 대해 수렴하는 급수 해를 생성한다.
• 정확한 해와 비교할 때 ADM로 얻은 근사 해는 수치 평가에서 최소한의 오차를 보이며 높은 정확도를 보인다.
• 그래프 및 표 결과는 방법의 신뢰성과 정확한 해와의 시각적 일致성을 확인한다.
• 다양한 분수계수와 비선형 항을 포함한 여러 테스트 케이스에서 방법은 강건성을 보인다.
• 아도미안 분해법은 복잡한 분수계수 PDEs를 해결하는 데 효과적이고 수렴하는 방법으로 확인된다.
• 본 연구는 비선형 분수계수 미분방정식을 다룰 때 방법의 명시성과 계산 효율성을 검증한다.