[논문 리뷰] Fractional Calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics

Francesco Mainardi|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 04.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 106인용 수 881

한 줄 요약

이 논문은 연속체 및 통계역학에서의 복잡한 동역학을 기술하기 위해 분수적 미분을 적용하며, 고전적인 비탄성 모델을 일반화하고 Basset 문제를 해결하며 분수적 확산-파동 방정식을 유도하기 위해 분수 도함수를 도입한다. 주요 기여는 비지수적 감쇠와 비정상적 확산을 기술하기 위해 Wright 및 Mittag-Leffler 함수를 사용하여 黏성성과 브라운 운동에서 장기 기억성과 멱법칙 행동을 드러내는 데 있다.

ABSTRACT

We review some applications of fractional calculus developed by the author (partly in collaboration with others) to treat some basic problems in continuum and statistical mechanics. The problems in continuum mechanics concern mathematical modelling of viscoelastic bodies (Sect. 1), and unsteady motion of a particle in a viscous fluid, i.e. the Basset problem (Sect. 2). In the former analysis fractional calculus leads us to introduce intermediate models of viscoelasticity which generalize the classical spring-dashpot models. The latter analysis induces us to introduce a hydrodynamic model suitable to revisit in Sect. 3 the classical theory of the Brownian motion, which is a relevant topic in statistical mechanics. By the tools of fractional calculus we explain the long tails in the velocity correlation and in the displacement variance. In Sect. 4 we consider the fractional diffusion-wave equation, which is obtained from the classical diffusion equation by replacing the first-order time derivative by a fractional derivative of order $0< β<2$. Led by our analysis we express the fundamental solutions (the Green functions) in terms of two interrelated auxiliary functions in the similarity variable, which turn out to be of Wright type (see Appendix), and to distinguish slow-diffusion processes ($0 < β< 1$) from intermediate processes ($1 < β< 2$).

연구 동기 및 목표

• 순수한 탄성과 점성 반응 사이의 중간 물성 거동를 포착하기 위해 분수계수 도함수를 도입하여 고전적인 선형 黏성성 모델을 확장하는 것.
• 유체-입자 운동의 비정상 상태에서 발생하는 Basset 문제를 해결하기 위해 유체역학적 힘을 분수적 미분으로 재구성함으로써 기억 효과를 일관되게 기술하는 것.
• 분수 도함수를 통합하여 브라운 운동을 재구성함으로써 장수 꼬리를 가진 속도 상관과 비마르코프성 이격 분산을 설명하는 것.
• 순서 β ∈ (0,2)를 가진 분수적 확산-파동 방정식을 유도하고 분석함으로써, 느린 확산(0 < β < 1)과 중간 과정(1 < β < 2)를 구분하는 것.
• 분수적 확산-파동 방정식의 기본 해를 Wright 유형 함수로 기술하여 비정상적 운반 현상에 대한 분석 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 분수 도함수(Riemann-Liouville 및 Caputo 유형)를 사용하여 黏성성 재료의 구성 방정식을 일반화함으로써, 정수계수 도함수를 순서 α ∈ (0,1)인 도함수로 대체하는 것.
• Basset 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 Mittag-Leffler 함수와 분수적 감쇠 커널을 포함하는 해를 도출하는 것.
• 시간 도함수를 순서 β ∈ (0,2)인 분수 도함수로 대체함으로써 분수적 확산-파동 방정식을 도출하고, 이는 시간 분수 확산 방정식을 얻는 것.
• 기본 해(Green의 함수)를 Wright 함수 W_{-β,1}(−r)로 표현하고, Mittag-Leffler 함수와의 관계를 기술하는 것.
• Wright 함수 M(r;ν) 및 W_{−ν,μ}(−r)를 포함하는 적분 표현과 라플라스 변환 쌍을 사용하여 해석적 역변환과 점근적 분석을 가능하게 하는 것.
• 0 < ν < 1일 때 M(r;ν) ↔ E_ν(−s)의 Wright 함수와 그 라플라스 변환 쌍의 성질을 활용하여 정확한 해와 점근 전개를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 미분은 고전적인 스프링-다스퍼 시스템을 일반화하여 탄성과 점성 사이의 중간 물성 거동를 기술하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ2 분수 도함수는 비정상 상태의 유체 내 입자 운동에서 발생하는 기억 효과를 기술하고 Basset 문제를 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 분수적 미분은 고전적인 브라운 운동 이론을 어떻게 수정하여 장수 꼬리를 가진 속도 상관과 비마르코프성 이격 분산을 설명하는가?
• RQ4 순서 β ∈ (0,2)인 분수적 확산-파동 방정식의 기본 해의 분석적 성질과 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ5 Wright 및 Mittag-Leffler 함수는 연속체 및 통계역학에서 분수 미분 방정식의 해로서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 분수적 미분은 멱법칙 감쇠 및 찌그러짐 반응을 가지는 黏성성 모델을 구축할 수 있게 하여, 분수계수 도함수를 통해 탄성과 점성 행동 사이를 보간하는 데 기여한다.
• Basset 문제의 해는 Mittag-Leffler 함수로 표현되며, 장기적으로 t^{−β} 형태로 감쇠되며, 이때 β = 1/2로 실험 관측과 일치한다.
• 0 < β < 1인 분수적 확산-파동 방정식은 느린 확산을 기술하고, 1 < β < 2인 경우는 유한한 전파 속도를 가지며 파동 특성을 띠는 중간 과정을 기술한다.
• 분수적 확산-파동 방정식의 기본 해는 Wright 함수 W_{−β,1}(−r)로 주어지며, 멱법칙 尾部와 비정규 분포 행동을 나타낸다.
• 0 < ν < 1일 때 M(r;ν) ↔ E_ν(−s)의 라플라스 변환 쌍은 黏성성 및 확산 분야의 분수 미분 방정식을 해결하기 위한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공한다.
• 해의 점근적 행동은 Mittag-Leffler 함수에 의해 지배되며, β ∈ (0,1)일 때 속도 상관 함수의 장기 감쇠가 멱법칙 t^{−β} 형태를 따르므로, 복잡한 매질에서의 비정상적 확산을 설명한다.