[논문 리뷰] SOS Lower Bound for Exact Planted Clique

Samuel B. Hopkins|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 37인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 식별된 클리크 문제를 해결하는 데 있어 제곱합(SoS) 계층의 날카운 가bound를 확립한다. degree-4 SoS는 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$보다 작은 식별된 클리크를 복원할 수 없으며, degree-$2d$ SoS의 경우 이 bound는 $\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$이다. 이는 이전 분석에서 사용된 증명 다항식을 새로운 보정 메커니즘을 통해 정교화함으로써 이전 결과를 향상시킨다.

ABSTRACT

The problem of finding large cliques in random graphs and its "planted" variant, where one wants to recover a clique of size $ω\gg \log{(n)}$ added to an \Erdos-\Renyi graph $G \sim G(n,\frac{1}{2})$, have been intensely studied. Nevertheless, existing polynomial time algorithms can only recover planted cliques of size $ω= Ω(\sqrt{n})$. By contrast, information theoretically, one can recover planted cliques so long as $ω\gg \log{(n)}$. In this work, we continue the investigation of algorithms from the sum of squares hierarchy for solving the planted clique problem begun by Meka, Potechin, and Wigderson (MPW, 2015) and Deshpande and Montanari (DM,2015). Our main results improve upon both these previous works by showing: 1. Degree four SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg \sqrt n poly \log n$, improving upon the bound $ω\gg n^{1/3}$ due to DM. A similar result was obtained independently by Raghavendra and Schramm (2015). 2. For $2 < d = o(\sqrt{\log{(n)}})$, degree $2d$ SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg n^{1/(d + 1)} /(2^d poly \log n)$, improving upon the bound due to MPW. Our proof for the second result is based on a fine spectral analysis of the certificate used in the prior works MPW,DM and Feige and Krauthgamer (2003) by decomposing it along an appropriately chosen basis. Along the way, we develop combinatorial tools to analyze the spectrum of random matrices with dependent entries and to understand the symmetries in the eigenspaces of the set symmetric matrices inspired by work of Grigoriev (2001). An argument of Kelner shows that the first result cannot be proved using the same certificate. Rather, our proof involves constructing and analyzing a new certificate that yields the nearly tight lower bound by "correcting" the certificate of previous works.

연구 동기 및 목표

• 식별된 클리크 문제에서 정보 이론적 임계점 ($\omega \gg \log n$) 과 알고리즘적 임계점 ($\omega = \Omega(\sqrt{n})$) 사이의 격차를 메우기 위해.
• 낮은 차수에서 제곱합(SoS) 계층이 식별된 클리크를 복원하는 데 가지는 한계를 분석하기 위해.
• 보완된 증명 다항식을 구성하고 분석함으로써 이전 SoS 하한을 향상시키기 위해.
• MPW 증명 다항식이 degree 4를 초월해 강력한 SoS 하한을 증명하는 데 부적절하며, 더 복잡한 구성이 필요함을 보여주기 위해.

제안 방법

• MPW 다항식을 보정하여 degree-4 SoS에 대해 거의 최적의 하한을 달성하는 새로운 증명 다항식을 구성한다.
• 특히 선택된 기저를 따라 정교한 스펙트럼 분해를 통해 보정된 연산자의 스펙트럼을 분석하여 고유값을 제어한다.
• 확률적 집합에서 종속된 항을 가진 그래프에서 모멘트 기대값의 편차를 분석하기 위해 농도 경계와 조합 도구를 적용한다.
• 보정된 증명자가 $\omega \ll \sqrt{n}$일 때 음의 정부호 기대값을 갖는다는 것을 보여주기 위해 편미분 기반 추론을 사용한다. 이는 정수성 갭을 의미한다.
• 증명자를 대칭 성분으로 분해하고, Grigoriev의 작업에서 영감을 얻은 고유공간의 대칭성을 활용한다.
• 원래 MPW 증명자가 동일한 하한을 도출할 수 없음을 보여줌으로써 분석의 최적성을 증명한다. 이는 보정이 필수적임을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 degree-4 SoS 계층은 크기가 $\omega = \widetilde{O}(\sqrt{n})$인 식별된 클리크를 복원할 수 있는가?
• RQ2 MPW 증명자는 degree 4에서 SoS에 대해 강력한 하한을 증명하는 데 충분한가, 아니면 수정이 필요한가?
• RQ3 d = o(\sqrt{\log n})일 때, degree-$2d$ SoS가 식별된 클리크 문제에서 가장 날카운 가능한 하한은 무엇인가?
• RQ4 더 복잡한 증명자들을 사용하여 SoS 계층을 $\omega = \widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 원래 MPW 증명자가 강력한 하한을 도출하지 못하는 이유는 무엇이며, 날카운 분석을 위해 증명자에 필요한 구조적 특성들은 무엇인가?

주요 결과

• degree-4 SoS 계층은 $\omega \ll \widetilde{O}(\sqrt{n})$ 크기의 식별된 클리크를 복원할 수 없으며, 이는 이전의 $n^{1/3}$ 하한을 향상시킨다.
• d = o(\sqrt{\log n})일 때 degree-$2d$ SoS의 정수성 갭은 최소 $\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$이며, 다항로그 인자까지는 알려진 최상의 상한과 일치한다.
• MPW 다항식을 보정하여 degree 4에서 거의 날카운 하한을 달성하는 새로운 증명 다항식을 구성하였다.
• 분석 결과 원래 MPW 증명자가 강력한 SoS 하한을 증명하는 데 부적절하다는 것이 드러났으며, Kelner의 일반화된 추론을 통해 이를 입증하였다.
• 보정된 증명자의 스펙트럼은 기저 분해를 통해 분석되었으며, 주요 기여는 $t = q/2$ 개의 연결 성분을 가진 성분에서 비롯됨을 보여주었다.
• 보정된 증명자의 기대값의 분산이 작다는 것을 증명함으로써, $\omega \ll \sqrt{n}$일 때 농도 경계를 적용하여 음의 정부호 기대값을 도출할 수 있었다.