[논문 리뷰] Space-Distribution PDEs for Path Independent Additive Functionals of McKean-Vlasov SDEs

Panpan Ren, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 맥키언-블라소프 SDE의 추가 함수성에 대한 경로 독립성을 특성화하기 위해 표준 도함수와 리오네스의 $L$-도함수를 포함하는 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 위의 공간-분포 PDE 클래스를 수립한다. 경로 독립성은 비선형 PDE의 해가 존재하는 것과 동치이며, 이는 확률적 방법으로 구성되며, 고전적 기르산وف 전환이 특수한 경우로 복원됨을 증명한다.

ABSTRACT

Let P2(Rd) be the space of probability measures on Rd with finite second moment. The path independence of additive functionals of McKean-Vlasov SDEs is characterized by PDEs on the product space Rd*P2(Rd) equipped with the usual derivative in space variable and Lions derivative in distribution. These PDEs are solved by using probabilis- tic arguments developed from [2]. In particular, the path independence of the Girsanov transformation killing the drift term is identified with a nonlinear PDE on Rd*P2(Rd), which includes corresponding results derived earlier for the classical SDEs as special situations.

연구 동기 및 목표

• 맥키언-블라소프 SDE의 추가 함수성의 경로 독립성을 드리프트 및 확산 항 모두를 고려하여 특성화하는 것.
• 이러한 SDE에 대한 기르산오프 전환에서 경로 독립적인 밀도를 유도할 조건을 규명하는 것.
• 표준 SDE에 대한 고전적 경로 독립성 결과를 공간-분포 PDE를 이용해 제품 공간 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 위에서 분포 의존적 설정으로 확장하는 것.
• 경로 독립성과 공간 및 분포 도함수를 포함하는 비선형 PDE의 해 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 공간에서의 표준 도함수와 분포에서의 리오네스 $L$-도함수를 포함하는 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 위의 PDE로 경로 독립성 조건을 수립한다.
• 시간 변화 과정과 조건부 분포에 대한 기대값을 포함한 확률적 추론을 사용하여 PDE의 해를 구성한다.
• 분포적 설정에서 페인만-카츠 공식을 적용하여 해를 종단 함수의 조건부 기대값으로 표현한다.
• 드리프트 및 확산 계수에 리프시츠 유형 조건이 만족될 경우 맥키언-블라소프 SDE의 해가 존재하고 유일함을 이용한다.
• 경로 독립성과 $\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b}$ 및 기울기의 제곱항을 포함하는 비선형 PDE의 해가 존재하는 것 사이의 동치성을 확립한다.
• 기르산오프 측도 전환의 맥락에서 선형 및 비선형 PDE의 해를 연결하기 위해 $V = -\beta \log \tilde{V}$와 같은 전환 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맥키언-블라소프 SDE의 추가 함수성 $A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$가 경로 독립이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공간 및 분포 도함수를 모두 포함하는 제품 공간 $\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 위의 PDE를 통해 경로 독립성이 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 맥키언-블라소프 프레임워크에서 기르산오프 전환의 경로 독립성과 비선형 PDE의 해 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 표준 SDE에서의 고전적 경로 독립성 결과들이 제안된 프레임워크의 특수한 경우로 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 추가 함수성 $A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$의 경로 독립성은 함수 $V \in C^{1,2,(1,1)}([0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d))$가 PDE $(\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b})V = -\frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2 + \mathbf{f}$를 만족하는 것과 동치이다.
• PDE의 해는 $V(t,x,\mu) = \mathbb{E}[\Phi(X_{t,T}^{x,\mu}, P_{t,T}^*\mu)] - \mathbb{E}\left[\int_t^T \mathbf{f}(r,X_{t,r}^{x,\mu}, P_{t,r}^*\mu) dr\right]$를 통해 확률적으로 구성된다.
• 드리프트 항을 제거하는 기르산오프 전환이 경로 독립이 되는 것은 $b(t,x,\mu) = \sigma(t,x,\mu)\sigma^*(t,x,\mu) \partial_x V(t,x,\mu)$일 때에만 성립하며, 이는 $\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$인 비선형 PDE를 푸는 것과 동치이다.
• 분포 의존성이 사라지는 경우, 즉 $\mu = \delta_x$일 때, 표준 SDE에 대한 고전적 경로 독립성 결과가 특수한 경우로 복원된다.
• $\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\mathbf{g}|^2$인 경우, 함수성 $A_{s,t}^{\mathbf{g}}$의 경로 독립성은 PDE $\partial_t V + \mathbf{L}_{\sigma,b} V = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$를 푸는 것과 동치이다.
• 전환 $V = -\beta \log \tilde{V}$는 비선형 PDE를 선형 PDE $\partial_t \tilde{V} + \mathbf{L}_{\sigma,b} \tilde{V} = 0$과 연결하며, 이는 확률적 해 표현을 가능하게 한다.