[논문 리뷰] Milstein schemes for delay McKean equations and interacting particle systems.

Jianhai Bao, Christoph Reisinger외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초선형 드리프트를 가진 지연 McKean SDEs를 위한 다듬어진 Milstein 스킴을 제안하며, 시간 이산화된 상호작용 입자 시스템과 유한한 두 번째 모멘트를 가진 측도 위의 미적분을 사용한다. 강한 수렴 차수 1과 모멘트 안정성을 확립하며, 레비 면적을 시뮬레이션하지 않으면서도 최적의 복잡도를 달성하는 반전 다듬어진 Milstein 스킴을 도입한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive fully implementable first order time-stepping schemes for point delay McKean stochastic differential equations (McKean SDEs), possibly with a drift term exhibiting super-linear growth in the state component. Specifically, we propose different tamed Milstein schemes for a time-discretised interacting particle system associated with the McKean equation and prove strong convergence of order 1 and moment stability, making use of techniques from calculus on the space of probability measures with finite second order moments. In addition, we introduce a truncated tamed Milstein scheme based on an antithetic multi-level Monte Carlo approach, which leads to optimal complexity estimators for expected functionals without the need to simulate Levy areas.

연구 동기 및 목표

• 초선형 드리프트를 가진 지점 지연 McKean SDEs를 위한 완전히 구현 가능한 1차 시간 스텝 스킴을 개발하기 위해.
• 이러한 방정식의 수치적 해에서 강한 수렴 차수 1과 모멘트 안정성을 확보하기 위해.
• 레비 면적 시뮬레이션을 피하면서도 기대 기능에 대한 최적의 복잡도를 달성하는 단순화된 다듬어진 Milstein 스킴을 설계하기 위해.
• 유한한 두 번째 모멘트를 가진 측도 공간 위의 미적분 기법을 활용하여 입자 시스템 근사 분석을 수행하기 위해.

제안 방법

• 지연 McKean SDEs와 관련된 시간 이산화된 상호작용 입자 시스템에 적합한 다듬어진 Milstein 스킴을 유도한다.
• 유한한 두 번째 모멘트를 가진 측도 공간 위의 미적분을 활용하여 입자 시스템의 수렴성과 안정성 분석을 수행한다.
• 계산 효율성을 향상시키고 레비 면적 시뮬레이션을 피하기 위해 단순화된 다듬어진 Milstein 스킴을 도입한다.
• 기대 기능의 추정에서 최적의 복잡도를 달성하기 위해 반전 다층 몬테카를로 접근법을 활용한다.
• SDE의 드리프트 항의 성장률을 제어하기 위해 다듬어짐 기법을 적용하여 수치적 안정성을 보장한다.
• 시간 이산화와 입자 시스템 근사를 조합하여 McKean SDEs를 완전히 구현 가능한 수치적 프레임워크로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 드리프트 항을 가진 지연 McKean SDEs를 위한 다듬어진 Milstein 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 상호작용 입자 시스템의 맥락에서 이러한 스킴의 강한 수렴 속도와 모멘트 안정성 행동은 어떠한가?
• RQ3 레비 면적 시뮬레이션을 피하면서도 최적의 복잡도를 유지할 수 있는 단순화된 다듬어진 Milstein 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ4 반전 다층 몬테카를로 접근법은 기대 기능 추정의 효율성을 어떻게 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 다듬어진 Milstein 스킴은 초선형 드리프트를 가진 지연 McKean SDEs에서 강한 수렴 차수 1을 달성한다.
• 다듬어진 스킴에 대해 모멘트 안정성이 확립되어 시간이 지남에 따라 수치적 모멘트의 유계성을 보장한다.
• 단순화된 다듬어진 Milstein 스킴은 레비 면적 시뮬레이션 없이도 기대 기능에 대한 최적의 복잡도 추정기를 가능하게 한다.
• 반전 다층 몬테카를로 접근법은 기능 추정에서 분산을 효과적으로 감소시키고 계산 효율성을 향상시킨다.
• 엄밀한 수렴성과 안정성 결과를 도출하기 위해 유한한 두 번째 모멘트를 가진 측도 공간 위의 고급 미적분 기법에 의존한다.