[논문 리뷰] Sparse exchangeable graphs and their limits via graphon processes

Christian Borgs, Jennifer Chayes외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 31인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 σ-유한 측도 공간 위에서 도시된 포isson 점 과정을 통해 생성되는 희박하고 교환 가능한 그래프의 무작위 가족인 그래프온 프로세스를 소개한다. 여기서 간선 확률은 적분 가능한 그래프온 함수 W에 의해 결정된다. 주요 결과는 이러한 프로세스가 부분그래프 빈도 수렴 및 일반화된 컷 거리에서 생성 그래프온으로 수렴함을 보이며, 그래프온은 컷 거리 동치성 이외에는 식별 불가능하다는 것이다.

ABSTRACT

In a recent paper, Caron and Fox suggest a probabilistic model for sparse graphs which are exchangeable when associating each vertex with a time parameter in R+. Here we show that by generalizing the classical definition of graphons as functions over probability spaces to functions over σ-finite measure spaces, we can model a large family of exchangeable graphs, including the Caron-Fox graphs and the traditional exchangeable dense graphs as special cases. Explicitly, modelling the underlying space of features by a σ-finite measure space (S, S, µ) and the connection probabilities by an integrable function W : S × S → [0, 1], we construct a random family (Gt)t≥0 of growing graphs such that the vertices of Gt are given by a Poisson point process on S with intensity tµ, with two points x, y of the point process connected with probability W(x, y). We call such a random family a graphon process. We prove that a graphon process has convergent subgraph frequencies (with possibly infinite limits) and that, in the natural extension of the cut metric to our setting, the sequence converges to the generating graphon. We also show that the underlying graphon is identifiable only as an equivalence class over graphons with cut distance zero. More generally, we study metric convergence for arbitrary (not necessarily random) sequences of graphs, and show that a sequence of graphs has a convergent subsequence if and only if it has a subsequence satisfying a property we call uniform regularity of tails. Finally, we prove that every graphon is equivalent to a graphon on R+ equipped with Lebesgue measure.

연구 동기 및 목표

• 측도 공간을 확률 공간에서 σ-유한 측도 공간으로 일반화하여 고전적 그래프온 이론을 희박한 그래프로 확장한다.
• σ-유한 측도 공간 위에서 포isson 점 과정을 사용하여 교환 가능한 희박한 그래프, 특히 Caron-Fox 모델을 모델링한다.
• 이 일반화된 설정에서 그래프 수열의 부분그래프 빈도 수렴성과 거리 수렴성을 확립한다.
• 꼬리의 균일한 정규성 개념을 통해 그래프 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는 조건을 특성화한다.
• 모든 그래프온이 르베그 측도를 갖는 R+ 위에서 정의된 그래프온과 동치임을 보여, 표준 표현을 가능하게 한다.

제안 방법

• 측도 공간 (S, S, µ) 위에서 강도 tµ의 포isson 점 과정을 통해 정점들이 생성되는 무작위 가족 (Gt)t≥0로 그래프온 프로세스를 정의한다.
• 정점 x와 y 사이에 간선가 형성될 확률을 W(x, y)로 설정하며, 여기서 W: S × S → [0, 1]은 적분 가능한 함수이다.
• 그래프 수열의 수렴을 정의하기 위해 컷 거리를 σ-유한 측도 공간으로 일반화한다.
• 이 일반화된 거리에서 부분그래프 빈도 수렴이 성립함을 증명한다. 이 경우 수렴한계가 무한일 수도 있다.
• 임의의 그래프 수열에서 부분수열 수렴을 위한 필요충분조건으로 꼬리의 균일한 정규성 개념을 도입한다.
• 모든 그래프온이 컷 거리 기준에서 르베그 측도를 갖는 R+ 위에서 정의된 그래프온과 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 공간을 초월해 σ-유한 측도 공간으로 일반화된 그래프온을 사용하여 교환 가능한 희박한 그래프를 모델링할 수 있는가?
• RQ2 희박하고 교환 가능한 그래프 모델에서 부분그래프 빈도 수렴을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 설정에서 임의의 그래프 수열이 거리 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 그래프온 프로세스의 생성 그래프온은 식별 가능한가? 만약 그렇다면 어떤 동치성 기준까지 가능한가?
• RQ5 모든 그래프온은 컷 거리 기준에서 르베그 측도를 갖는 R+ 위에서 정의된 그래프온과 등가로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• σ-유한 측도 공간 위에서 적분 가능한 그래프온 W를 갖는 그래프온 프로세스는 부분그래프 빈도 수렴을 보이며, 이 경우 수렴한계가 무한일 수도 있다.
• 그래프온 프로세스에 의해 생성된 그래프 수열은 일반화된 컷 거리에서 생성 그래프온 W로 수렴한다.
• 그래프온 W는 컷 거리 0 동치성 이외에는 식별 불가능하며, 컷 거리가 0인 그래프들은 극한에서 구별 불가능하다.
• 그래프 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는다 ↔ 꼬리의 균일한 정규성을 만족하는 부분수열이 존재한다.
• 모든 그래프온은 르베그 측도를 갖는 R+ 위에서 정의된 그래프온과 동치이며, 이는 표준 표현을 가능하게 한다.