[논문 리뷰] The Class of Random Graphs Arising from Exchangeable Random Measures

Victor Veitch, Daniel M. Roy|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 37인용 수 72

한 줄 요약

이 논문은 교환가능한 랜덤 측도를 기반으로 하는 일반적인 무작위 그래프의 클래스를 제안하며, 밀도가 높거나 희박한 네트워크를 모두 일반화하는 그래프엑스 (I, S, W)로 특징지어진다. Kallenberg의 프레임워크를 통해 표현 정리를 확립함으로써, 희박성, 긴 꼬리 분포, 소월드 성질을 띠는 실제 네트워크의 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

We introduce a class of random graphs that we argue meets many of the desiderata one would demand of a model to serve as the foundation for a statistical analysis of real-world networks. The class of random graphs is defined by a probabilistic symmetry: invariance of the distribution of each graph to an arbitrary relabelings of its vertices. In particular, following Caron and Fox, we interpret a symmetric simple point process on $\mathbb{R}_+^2$ as the edge set of a random graph, and formalize the probabilistic symmetry as joint exchangeability of the point process. We give a representation theorem for the class of random graphs satisfying this symmetry via a straightforward specialization of Kallenberg's representation theorem for jointly exchangeable random measures on $\mathbb{R}_+^2$. The distribution of every such random graph is characterized by three (potentially random) components: a nonnegative real $I \in \mathbb{R}_+$, an integrable function $S: \mathbb{R}_+ o \mathbb{R}_+$, and a symmetric measurable function $W: \mathbb{R}_+^2 o [0,1]$ that satisfies several weak integrability conditions. We call the triple $(I,S,W)$ a graphex, in analogy to graphons, which characterize the (dense) exchangeable graphs on $\mathbb{N}$. Indeed, the model we introduce here contains the exchangeable graphs as a special case, as well as the "sparse exchangeable" model of Caron and Fox. We study the structure of these random graphs, and show that they can give rise to interesting structure, including sparse graph sequences. We give explicit equations for expectations of certain graph statistics, as well as the limiting degree distribution. We also show that certain families of graphexes give rise to random graphs that, asymptotically, contain an arbitrarily large fraction of the vertices in a single connected component.

연구 동기 및 목표

• 희박하고 이질적이며, 멱법칙 degree 분포와 소월드 성질을 띠는 복잡한 네트워크를 통계적으로 원칙적인 프레임워크로 모델링하기 위해 개발한다.
• 정점 재라벨링에 대한 불변성이라는 기본 대칭성에 기반하여, 일반적이고 다루기 쉽게, 유연한 모델이 부족한 통계적 네트워크 분석 문제를 해결한다.
• 교환가능한 랜덤 측도를 사용하여, 밀도가 높은 교환가능한 그래프 모델과 희박한 모델(예: Caron-Fox)을 하나의 이론적 프레임워크로 통합한다.
• Kallenberg의 공동 교환가능한 랜덤 측도 이론을 사용하여 이러한 무작위 그래프의 표현 정리를 제공한다.
• 최소한의 구성 요소인 그래프엑스 (I, S, W)로 그래프의 분포를 특성화함으로써 통계적 추론을 가능하게 한다.

제안 방법

• ℝ₊² 상의 대칭적 단순 점과정을 정의하여 엣지 집합으로 해석하고, 임의의 정점 재라벨링에 대해 불변인 분포를 가지도록 한다(교환성).
• Kallenberg의 공동 교환가능한 랜덤 측도에 대한 표현 정리를 적용하여, 이러한 그래프의 분포에 대한 표준형을 유도한다.
• 모든 그래프 클래스의 분포를 삼중조 (I, S, W): 음이 아닌 상수 I, 함수 S:ℝ₊→ℝ₊, 그리고 약한 적분 가능 조건을 만족하는 대칭 가측 함수 W:ℝ₊²→[0,1]로 특성화한다.
• 모델이 밀도가 높은 교환가능한 그래프(그래프론을 통해)와 희박한 모델(예: Caron-Fox)을 특수한 경우로 포함함을 입증한다.
• 그래프엑스 구성 요소를 사용하여 간선 수의 기대값과 한계 degree 분포에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 포isson 분포를 따르는 균일하게 샘플된 정점에 의해 유도되는 부분그래프에 대한 샘플링 기법을 제안하며, 이는 KEGs를 유도함으로써 실증적 그래프엑스 추정 및 모델 피팅에 대한 길을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 재라벨링에 대한 불변성(교환성)을 만족하고, 동시에 밀도가 높거나 희박한 네트워크의 구조를 모두 포괄하는 일반적인 무작위 그래프 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 교환가능한 무작위 그래프의 전체 확률적 표현은 무엇이며, 이를 다루기 쉬운 매개변수로 분포를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 그래프엑스의 구성 요소 (I, S, W)는 간선 밀도, degree 분포, 연결성과 같은 구조적 성질과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 어떤 샘플링 기법이 유한한 네트워크에서 KEGs를 생성하는가? 그리고 이는 실증적 모델 피팅 및 추정에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 기존 이론(예: L^p 그래프론 기반의 그래프 극한 이론) 및 밀도가 높은 교환가능한 그래프 프레임워크와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 교환가능한 랜덤 측도로 정의된 무작위 그래프 클래스는 그래프엑스 (I, S, W)를 통한 표현을 가지며, 이는 그래프의 분포를 완전히 특성화한다.
• 이 모델은 그래프론을 통한 밀도가 높은 교환가능한 그래프와 Caron-Fox와 같은 희박한 모델을 모두 일반화하여 하나의 프레임워크로 통합한다.
• 그래프엑스 기반 모델에서 간선 수의 기대값은 I, S, W를 포함하는 명시적 적분 표현식으로 주어지며, 이는 통계적 추론을 가능하게 한다.
• 한계 degree 분포는 닫힌 형태로 유도되며, 적절한 W의 선택에 따라 멱법칙 유사 degree 분포를 생성할 수 있음을 보여준다.
• 일부 그래프엑스 가족은 점 渐진적으로 고립된 정점의 비율이 0에 수렴하고, 양의 비율의 정점이 단일 연결 성분에 속하는 그래프를 생성할 수 있다.
• 포isson 분포를 따르는 균일하게 샘플된 정점에 의해 유도되는 부분그래프에 대한 샘플링 기법이 제안되었으며, 이는 실증적 그래프엑스 추정으로 이어지는 길을 제시한다.