[논문 리뷰] Sparse Linear-Quadratic Feedback Design Using Affine Approximation

MirSaleh Bahavarnia|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 30.

Advanced Adaptive Filtering Techniques참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 애니지에이션 근사와 슈어 여부 기법을 사용하여 $\alpha$-정규화된 LQ 문제를 볼록화함으로써 희소 선형-제곱형 피드백 제어 설계를 위한 반복 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 비볼록이고 NP-하드인 희소성 촉진 LQR 문제를 볼록 semidefinite 프로그램(SDP)의 일련로 변환하여, 기존 방법들과 비교해 경쟁력 있는 성능과 뛰어난 희소성 패턴을 달성한다.

ABSTRACT

We consider a class of $\ell_0$-regularized linear-quadratic (LQ) optimal control problems. This class of problems is obtained by augmenting a penalizing sparsity measure to the cost objective of the standard linear-quadratic regulator (LQR) problem in order to promote sparsity pattern of the state feedback controller. This class of problems is generally NP hard and computationally intractable. First, we apply a $\ell_1$-relaxation and consider the $\ell_1$-regularized LQ version of this class of problems, which is still nonconvex. Then, we convexify the resulting $\ell_1$-regularized LQ problem by applying affine approximation techniques. An iterative algorithm is proposed to solve the $\ell_1$-regularized LQ problem using a series of convexified $\ell_1$-regularized LQ problems. By means of several numerical experiments, we show that our proposed algorithm is comparable to the existing algorithms in the literature, and in some cases it even returns solutions with superior performance and sparsity pattern.

연구 동기 및 목표

• 희소성 촉진 $\|K\|_{\ell_0}$ 항을 포함한 $\alpha$-정규화된 LQ 최적 제어 문제의 계산 비가역성 문제를 해결하기 위해.
• 리아파노프 방정식 내 비선형 항에 대한 애니지에이션 근사를 통해 비볼록인 $\alpha$-정규화된 LQ 문제를 볼록화하기 위해.
• 희소 피드백 이득을 근사하기 위해 일련의 볼록화된 부분문제를 반복적으로 해결하는 반복 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기존 알고리즘들(예: [2]에서 제안된 알고리즘)과 비교해 더 나은 희소성 패턴과 성능을 달성하기 위해.

제안 방법

• 원래의 $\ell_0$-정규화된 LQ 문제에 $\ell_1$-완화를 적용하여 비볼록 희소성 항을 볼록 $\ell_1$-노름으로 변환한다.
• 리아파노프 방정식 내 비선형 항에 대한 애니지에이션 근사를 사용하여 선형화함으로써 $\ell_1$-정규화된 문제의 볼록화를 가능하게 한다.
• 슈어 여부를 활용하여 유도된 비볼록 제약 조건을 SDP 솔버(CVX 등)에 적합한 선형 행렬 부등식(LMI) 형태로 재구성한다.
• K와 X를 포함한 이차항을 분해하고 볼록화하기 위해 보조 변수 $F$, $P$, $Y$를 도입한다.
• 각 단계에서 근사를 업데이트하면서 일련의 볼록 SDP를 반복적으로 해결하여 희소 피드백 이득 $K$로 수렴한다.
• CVX 호환 형식에서 수치적 안정성을 확보하기 위해 $X \succeq \epsilon_1 I$를 강제 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애니지에이션 근사는 비선형 리아파노프 제약 조건이 있는 비볼록 $\ell_1$-정규화된 LQ 문제를 효과적으로 볼록화할 수 있는가?
• RQ2 반복적 볼록화 접근법은 기존 방법들과 비교해 향상된 희소성과 성능을 갖는 피드백 제어기를 도출할 수 있는가?
• RQ3 희소성 구조가 시스템 구조와 일치할 것으로 기대되는 공간적으로 감쇠하는 시스템에서 알고리즘이 어떻게 작동하는가?
• RQ4 최신 기술 대비 계산 비용과 해의 품질 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 희소성 촉진 LQR 문제의 진정한 최적 해에 대한 상한선으로서의 이차 비용을 달성한다.
• 수치 실험 결과, 일부 경우에서 [2]에서 제안한 알고리즘과 비교해 더 뛰어난 희소성 패턴과 성능을 보이는 해를 생성한다.
• 기존 알고리즘들과 유사한 성능를 보이지만, 알고리즘적 구조가 더 단순하다.
• 공간적으로 감쇠하는 시스템의 경우, 도출된 피드백 이득 행렬은 시스템 역학의 기본 구조와 일치하는 희소성 패턴을 보인다.
• 알고리즘은 [2]보다 느리지만, 더 체계적이고 해석 가능한 해결 과정을 제공하는 것으로 나타났다.
• 애니지에이션 근사와 슈어 여부의 활용을 통해 표준 도구(CVX 등)로 해석 가능한 볼록 SDP의 일련로 변환 가능하다.