[논문 리뷰] Special Relativity in Reduced Power Algebras

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 02.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 10인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 특수 상대성 이론을 확장하기 위해 레이저 좌표 변환을 실수 대신 축소된 거듭제곱 대수의 스칼라로 재구성한다. ℝ를 초월하여 무한소와 무한대 수를 포함하는 비아르키메데스 대수로 대체함으로써, 물리학에서의 발산 문제를 자연스럽게 해결하고 다차원 시공간을 가능하게 하여 상대성 물리학에 새로운 대수적 기반을 제공한다. 이는 양자 중력 및 평행 우주에 대한 잠재적 영향을 가질 수 있다.

ABSTRACT

Recently, [10,11], the Heisenberg Uncertainty relation and the No-Cloning property in Quantum Mechanics and Quantum Computation, respectively, have been extended to versions of Quantum Mechanics and Quantum Computation which are re-formulated using scalars in {\it reduced power algebras}, [2-9], instead of the usual real or complex scalars. Here, the Lorentz coordinate transformations, fundamental in Special Relativity, are extended to versions of Special Relativity that are similarly re-formulated in terms of scalars in reduced power algebras, instead of the usual real or complex scalars. The interest in such re-formulations of basic theories of Physics are due to a number of important reasons, [2-11]. Suffice to mention two of them : the difficult problem of so called "infinities in Physics" falls easily aside due to the presence of infinitesimal and infinitely large scalars in such reduced power algebras, and the issue of fundamental constants in physics, like Planck's $h$, or the velocity of light $c$, comes under a new focus which offers rather surprising alternatives.

연구 동기 및 목표

• 실수의 체 ℝ 대신 축소된 거듭제곱 대수를 사용하여 특수 상대성 이론을 재구성함으로써 물리학에서 새로운 수학적 구조를 가능하게 한다.
• 축소된 거듭제곱 대수에 내재된 무한소와 무한대 스칼라를 활용하여 물리학에서의 지속적인 문제인 '무한대 문제'를 해결한다.
• 물리 이론에서 아르키메데스 공리를 완화할 경우의 영향을 탐구하며, 특히 레이저 변환의 맥락에서 이를 다룬다.
• 좌표와 스칼라가 비아르키메데스 대수 위에 정의될 경우 상대성 원리와 빛의 속도의 일정성 원리가 어떻게 유지될 수 있는지 탐구한다.
• 특히 영이 아닌 원소와 비가역 원소의 존재를 포함한 축소된 거듭제곱 대수의 대수적 구조를 상대성 변환의 맥락에서 검토한다.

제안 방법

• 집합 Λ에서 ℝ로의 함수의 동치류로 구성된 축소된 거듭제곱 대수 𝔸_F를 사용하여 실수의 체 ℝ를 대체한다.
• 𝔸_F에서의 대수적 연산(덧셈, 곱셈, 제곱)을 유지하면서 표준 레이저 변환 유도 과정을 적응한다.
• 𝔸_F에서의 나눗셈과 제곱근을 처리하기 위해 가역 원소(단위)와 영이 아닌 원소의 성질을 분석하며, 필터 성질을 이용해 원소가 영이 아니고 가역임을 판단한다.
• 원소 (x)_F ≠ 0 이고 Z(x) ∉ 𝔽 이며 ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 이면 단위로 정의하고, (x)_F ≠ 0, (y)_F ≠ 0, (x)_F(y)_F = 0 이면 영이 아닌 원소의 곱이 0이 되는 영이 아닌 원소를 정의한다.
• 새로운 대수에서 표준 상대론적 레이저 변환 유도 과정(1.13)과 (1.19)를 적용하여, 연산이 잘 정의될 경우 동일한 대수적 형태가 유지됨을 보인다.
• 𝔸_F가 반드시 일차원적이거나 전순서가 아니므로, 특히 필터 𝔽가 초초점이 아닐 경우 𝔸_F가 다차원 시공간을 가능하게 함을 인식함으로써 다차원 시공간 개념을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레이저 좌표 변환은 축소된 거듭제곱 대수로 일관되게 확장될 수 있는가? 이때 물리적 의미는 유지되는가?
• RQ2 축소된 거듭제곱 대수의 대수적 성질—예를 들어 영이 아닌 원소와 비가역 원소—는 레이저 변환의 유도와 유효성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시간과 공간 좌표가 비아르키메데스 대수 위에 모델링될 경우, 특히 시간의 다차원성과 관련하여 어떤 물리적 결과가 발생하는가?
• RQ4 실수의 아르키메데스 체 ℝ를 비아르키메데스 대수 𝔸_F로 대체함으로써 상대론적 물리학에서의 무한대 문제는 어떻게 해결되는가?
• RQ5 축소된 거듭제곱 대수 기반의 프레임워크에서 상대성 원리와 빛의 속도 일정성 원리는 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 나눗셈과 제곱근이 정의되는 경우, 즉 가역 원소인 경우에 한하여 표준 레이저 변환 (1.13)과 (1.19)는 축소된 거듭제곱 대수 𝔸_F로 확장될 수 있다.
• 대수적 연산이 잘 정의될 경우, 레이저 인자 γ = 1 / √(1 - v²/c²)의 유도 과정은 𝔸_F에서도 유효하며 상대론적 구조를 유지한다.
• 축소된 거듭제곱 대수에는 무한소 스칼라와 무한대 스칼라가 모두 포함되어 있어, 발산하는 항목을 잘 정의된 대수적 요소로 대체함으로써 물리학에서의 무한대 문제를 자연스럽게 해결한다.
• 필터 𝔽가 초초점이 아닐 경우, 대수 𝔸_F는 영이 아닌 원소를 포함하며, 체가 아니므로 다차원 시공간이 가능해지며, 𝔸_F가 선형 순서가 아니므로 이에 기인한다.
• 𝔸_F의 가역 원소 집합은 (x)_F ∈ 𝔸_F^u 이면 Z(x) ∉ 𝔽 이고 ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 를 만족함으로써 특징지어지며, 이는 나눗셈이 오직 이러한 원소에서만 정의됨을 보장한다.
• 이 틀은 평행 우주를 비아르키메데스 대수에서의 다차원 시간의 성질을 통해 모델링할 수 있는 추상적 해석을 가능하게 한다.