[논문 리뷰] Special values of anticyclcotomic Rankin-Selberg L-functions

Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 07.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토릭 힐베르트 모듈러 형식에 대해 명시적인 발트스부르거 공식을 수립하고, 힐베르트 모듈러 형식에 대해 반대칭 p-adic 랭킨-셀버그 L-함수를 구축하며, 이는 이전의 타원 곡선 케이스를 일반화한 것이다. 또한 Iwasawa μ-불변량의 영함 조건을 필요로 하고 충분한 조건을 증명하며, 특정한 CM 유형과 루트 수 조건 하에서 반대칭 p-adic 변형을 통한 중심 L-값의 p에 대한 비영함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we prove an explicit Waldspurger formula for the toric Hilbert modular forms. As an application, we construct a class of anticyclotomic p-adic Rankin-Selberg L-functions for Hilbert modular forms, generalizing the construction of Bertolini, Darmon and Prasanna in the elliptic case. Moreover, building on works of Hida, we give a necessary and sufficient condition when the Iwasawa mu-invariant of this p-adic L-function vanishes and prove a result on the non-vanishing modulo $p$ of central Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists.

연구 동기 및 목표

• 베르톨리니, 다르몬, 프라사나가 타원 곡선 케이스에서 수행한 것과 유사하게, 힐베르트 모듈러 형식에 대해 반대칭 p-adic 랭킨-셀버그 L-함수를 구축한다.
• 이 p-adic L-함수의 Iwasawa μ-불변량의 영함에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 지정된 국소적 루트 수 조건과 p-ordinariness 조건 하에서, 반대칭 p-adic 변형을 통한 중심 랭킨-셀버그 L-값의 p에 대한 비영함을 증명한다.
• 발트스부르거의 공식을 토릭 힐베르트 모듈러 형식의 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 주기 적분과 p-adic 보간을 이용하여 힐베르트 모듈러 형식의 토릭 주기의 명시적 발트스부르거 공식을 유도한다.
• 반대칭 p-adic 변형을 통한 랭킨-셀버그 곱의 중심 L-값의 p-adic 보간을 통해 p-adic L-함수를 구축한다.
• Hida의 p-adic 가닥 이론과 일반적인 자동형 형식 이론을 적용하여, 구축된 p-adic L-함수의 μ-불변량을 분석한다.
• 국소적 루트 수 가정과 p-ordinariness 조건을 활용하여, p-adic L-함수가 잘 정의되고 μ-불변량에 대해 잘 통제됨을 보장한다.
• 갈루아 이론적 추론과 헤크 기호의 합동을 활용하여, 토릭 주기의 p에 대한 비영함을 확인한다.
• CM 유형의 식별과 반대칭 Z_p^{[F:Q]}-확장의 구조를 이용하여 p-adic L-함수를 정의하고 그 Iwasawa 불변량을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐베르트 모듈러 형식에 대해 반대칭 p-adic 랭킨-셀버그 L-함수의 Iwasawa μ-불변량이 어떤 조건에서 영이 되는가?
• RQ2 토릭 힐베르트 모듈러 형식에 대해 명시적인 발트스부르거 공식을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ3 반대칭 설정에서, 토릭 주기 적분과 휘어진 랭킨-셀버그 곱의 중심 L-값 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 지정된 가정 하에서, 반대칭 p-adic 변형을 통한 중심 L-값이 언제 p에 대해 영이 아니며, 어떤 조건에서 비영함을 띄는가?
• RQ5 CM 유형에 대한 p-ordinariness 조건은 p-adic L-함수의 구축 및 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 구축된 반대칭 p-adic L-함수의 Iwasawa μ-불변량의 영함에 대해, 특정 국소적 p-adic L-불변량의 영함에 기반한 필요 및 충분 조건을 증명한다.
• 토릭 힐베르트 모듈러 형식에 대해 명시적인 발트스부르거 공식이 수립되었으며, 자동형 형식의 p-adic 보간을 통해 중심 L-값과 토릭 주기 적분 간의 관계를 규명하였다.
• 구축된 p-adic L-함수는 반대칭 헤크 기호로 휘어진 랭킨-셀버그 L-함수의 중심값을 보간하며, 이는 타원 곡선 케이스를 힐베르트 모듈러 형식으로 일반화한 것이다.
• 국소적 루트 수가 휘어진 도함수의 국소적 도함수를 나누는 모든 자리에서 +1인 조건 하에서, 거의 모든 헤크 기호에 대해 반대칭 p-adic 변형을 통한 중심 L-값의 p에 대한 비영함이 증명되었다.
• p-ordinariness 가정 하에서 p-adic L-함수가 잘 정의되고 p-adic 해석적임을 보였으며, 이는 반대칭 타워 위에 표준적인 p-adic 측도의 존재를 보장한다.
• p에 대한 비영함의 증명은 헤크 대수에서 최대 이상수에 모odulo한 합동을 활용하여, 헤크 기호의 갈루아 이론적 조건(H′)을 검증하는 데 의존한다.