[논문 리뷰] Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge joins of graphs

Xiaogang Liu, Zuhe Zhang|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 04.

Graph theory and applications참고 문헌 9인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 한 그래프가 정규 그래프일 경우, 두 가지 새로운 그래프 연산인 분할-정점 결합(subdivision-vertex join)과 분할-간선 결합(subdivision-edge join)에 대한 인접행렬, 라플라스 행렬, 부호 없는 라플라스 행렬의 스펙트럼에 대한 명시적 공식을 유도한다. 이를 통해 무한한 수의 동스펙트럼 그래프의 가족을 구성할 수 있으며, 이러한 결합된 그래프의 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수에 대한 정확한 표현도 제공한다.

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The subdivision-vertex join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\dot{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $V(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$. The subdivision-edge join of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\underline{\vee}G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $G_2$ by joining every vertex of $I(G_1)$ with every vertex of $V(G_2)$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$, in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, these results enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. We also give the number of the spanning trees and the Kirchhoff index of $G_1\dot{\vee}G_2$ (respectively, $G_1\underline{\vee}G_2$) for a regular graph $G_1$ and an arbitrary graph $G_2$.

연구 동기 및 목표

• 분할-정점 결합 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 와 분할-간선 결합 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 의 인접행렬, 라플라스 행렬, 부호 없는 라플라스 행렬 스펙트럼을 특성화하는 것.
• 원래 그래프 $ G_1 $ 와 $ G_2 $ 의 스펙트럼을 바탕으로 스펙트럼 공식을 유도하는 것. 이때 $ G_1 $ 는 정규 그래프로 가정한다.
• 스펙트럼 결과를 활용하여 무한한 수의 동스펙트럼 그래프의 가족을 구성하는 것.
• 결합된 그래프의 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수에 대한 정확한 표현을 도출하는 것.

제안 방법

• 각 간선에 정점을 삽입하여 분할 그래프 $ \mathcal{S}(G) $ 를 정의한다.
• 기본로드로 $ \mathcal{S}(G_1) $ 를 사용하여, $ V(G_1) $ 의 모든 정점과 $ V(G_2) $ 의 모든 정점을 연결함으로써 분할-정점 결합 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 를 정의한다.
• 삽입된 정점들(즉, $ I(G_1) $)의 모든 정점과 $ V(G_2) $ 의 모든 정점을 연결함으로써 분할-간선 결합 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 를 정의한다.
• 정규 그래프로 가정할 때, 스펙트럼 그래프 이론 기법을 사용한다. 특히 고유값의 교차성과 행렬 분해를 활용한다.
• 정규 그래프와 결합 연산의 알려진 스펙트럼 성질을 활용하여, 새로운 그래프 연산의 스펙트럼에 대한 폐쇄형 표현을 도출한다.
• 스펙트럼을 활용하여 대수적 그래프 이론의 행렬식 기반 공식을 적용하여 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 그래프인 $ G_1 $ 인 경우, 분할-정점 결합 $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 의 인접행렬 스펙트럼은 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 스펙트럼을 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 정규 그래프인 $ G_1 $ 과 임의의 그래프인 $ G_2 $ 에 대해, 분할-간선 결합 $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 의 라플라스 행렬과 부호 없는 라플라스 행렬 스펙트럼은 무엇인가?
• RQ3 유도된 스펙트럼 공식을 사용하여 무한한 수의 동스펙트럼 그래프의 쌍을 생성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 결합된 그래프의 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수에 대해 어떤 정확한 표현을 얻을 수 있는가?
• RQ5 그래프 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 스펙트럼 성질은 결과로 얻어지는 결합된 그래프의 스펙트럼 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정규 그래프로 가정할 경우, $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 의 인접행렬 스펙트럼은 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 고유값에 의해 완전히 결정된다.
• 정규 그래프로 가정할 경우, $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 의 라플라스 행렬과 부호 없는 라플라스 행렬 스펙트럼은 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 스펙트럼에 의해 표현된다.
• 유도된 스펙트럼 공식을 활용하여, 비동형이지만 동스펙트럼인 그래프의 무한한 쌍을 구성할 수 있다.
• 정규 그래프로 가정할 경우, $ G_1 \dot{\vee} G_2 $ 의 스패닝 트리 수에 대한 정확한 공식을 유도하였다.
• 라플라스 행렬의 스펙트럼 분해를 활용하여, $ G_1 \underline{\vee} G_2 $ 의 키르히호프 지수에 대한 정확한 표현을 확보하였다.
• 결과는 인접행렬, 라플라스 행렬, 부호 없는 라플라스 행렬 모두에 적용되어, 두 그래프 연산의 종합적인 스펙트럼 분석을 제공한다.