[논문 리뷰] Spectra of the subdivision-vertex and subdivision-edge coronae

Pengli Lu, Yufang Miao|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 03.

Graph theory and applications참고 문헌 13인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 원래 그래프 $G_1$와 $G_2$의 스펙트럼에 기반하여 두 가지 새로운 그래프 연산인 분할-정점 코로나 $G_1 \bigodot G_2$와 분할-간선 코로나 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$의 인접행렬, 라플라시안, 부호 없는 라플라시안 스펙트럼에 대한 명시적 공식을 유도한다. 주요 기여는 행렬 코로나 이론과 크로네커乘법을 활용한 완전한 스펙트럼 특성화로, 이는 무한한 수의 동스펙트럼 그래프 및 정수 스펙트럼 그래프의 구축과 스패닝 트리 및 키르히호프 지수에 대한 정확한 공식 제공을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The subdivision graph $\mathcal{S}(G)$ of a graph $G$ is the graph obtained by inserting a new vertex into every edge of $G$. Let $G_1$ and $G_2$ be two vertex disjoint graphs. The \emph{subdivision-vertex corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\odot G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|V(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $V(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$. The \emph{subdivision-edge corona} of $G_1$ and $G_2$, denoted by $G_1\circleddash G_2$, is the graph obtained from $\mathcal{S}(G_1)$ and $|I(G_1)|$ copies of $G_2$, all vertex-disjoint, by joining the $i$th vertex of $I(G_1)$ to every vertex in the $i$th copy of $G_2$, where $I(G_1)$ is the set of inserted vertices of $\mathcal{S}(G_1)$. In this paper we determine the adjacency spectra, the Laplacian spectra and the signless Laplacian spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) in terms of the corresponding spectra of $G_1$ and $G_2$. As applications, the results on the spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) enable us to construct infinitely many pairs of cospectral graphs. The adjacency spectra of $G_1\odot G_2$ (respectively, $G_1\circleddash G_2$) help us to construct many infinite families of integral graphs. By using the Laplacian spectra, we also obtain the number of spanning trees and Kirchhoff index of $G_1\odot G_2$ and $G_1\circleddash G_2$, respectively.

연구 동기 및 목표

• 분할 그래프를 기반으로 두 가지 새로운 그래프 연산인 분할-정점 코로나와 분할-간선 코로나를 정의하고 체계화하기.
• 이 새로운 그래프 연산의 인접행렬, 라플라시안, 부호 없는 라플라시안 스펙트럼에 대한 닫힌 표현식을 유도하기.
• 스펙트럼 결과를 응용하여 무한한 수의 동스펙트럼 그래프 및 정수 스펙트럼 그래프의 가족을 구축하기.
• 유도된 그래프의 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수에 대한 정확한 공식을 계산하기.
• $G_1$와 $G_2$의 스펙트럼에 기반하여 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$와 $G_1 \bigodot G_2$가 동스펙트럼 또는 정수 스펙트럼이 되는 조건을 설정하기.

제안 방법

• 분할 그래프 $\mathcal{S}(G_1)$를 사용하여, $G_1$의 각 원래 정점이 $G_2$의 복사본의 모든 정점과 연결된 그래프로 분할-정점 코로나 $G_1 \bigodot G_2$를 정의한다.
• 분할-간선 코로나 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$는 $\mathcal{S}(G_1)$에 삽입된 각 정점이 $G_2$의 복사본의 모든 정점과 연결된 그래프로 정의한다.
• 행렬 코로나 함수 $\Gamma_M(x)$와 크로네커乘법 기법을 사용하여 새로운 그래프의 인접행렬, 라플라시안, 부호 없는 라플라시안 행렬을 분해한다.
• 스펙트럼 분해와 블록 행렬 행렬식 항등식을 적용하여, $G_1$과 $G_2$의 표현식으로 유도된 그래프의 특성다항식을 유도한다.
• 정규성 가정(예: $G_1$ 정규)을 활용하여 스펙트럼 표현식을 단순화하고 닫힌 형태의 결과를 도출한다.
• 유도된 스펙트럼 공식을 활용하여 스펙트럼 기반 항등식을 통해 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할-정점 및 분할-간선 코로나의 인접행렬, 라플라시안, 부호 없는 라플라시안 스펙트럼은 원래 그래프 $G_1$와 $G_2$의 스펙트럼으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 $G_1 \bigodot G_2$와 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$가 동스펙트럼 그래프를 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 스펙트럼 공식을 사용하여 무한한 수의 정수 스펙트럼 그래프를 생성할 수 있는가?
• RQ4 $G_1 \bigodot G_2$와 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$의 스패닝 트리 수와 키르히호프 지수에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ5 $G_1$의 정규성은 스펙트럼 분해와 도출된 공식에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 분할-정점 코로나 $G_1 \bigodot G_2$의 인접행렬 스펙트럼은 $G_1$과 $G_2$의 스펙트럼에 의해 완전히 결정되며, 행렬 코로나 함수와 크로네커乘법을 통해 유도된 고유값을 포함한다.
• 분할-간선 코로나 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$의 라플라시안 스펙트럼은 $x-2-n_2 - \frac{1}{x-1} \text{Tr}(\text{resolvent of } L(G_2))$의 곱과 $G_1$, $G_2$의 고유값을 포함하는 항들로 구성된다.
• 분할-간선 코로나 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$의 스패닝 트리 수는 $t(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = \frac{2^{m_1 - n_1} (2 + r_1 + r_1 n_2)^{n_1} t(G_1) \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} (\nu_i(G_2) + 1)^{m_1}}{n_1 + m_1 + m_1 n_2}$로 주어지며, 여기서 $G_1$는 $r_1$-정규이다.
• 분할-간선 코로나 $G_1 \bigcirc\bigcirc G_2$의 키르히호프 지수는 $Kf(G_1 \bigcirc\bigcirc G_2) = (m_1(1+n_2)+n_1) \times \big( \frac{(3+n_2)m_1 - (n_2+1)n_1 - 2}{2} + \frac{3 + r_1 + n_2}{2 + r_1 + r_1 n_2} + \frac{2 + r_1 + r_1 n_2}{n_1} Kf(G_1) + \textstyle\bigotimes_{i=2}^{n_2} \frac{m_1}{1 + \nu_i(G_2)} \big)$로 표현된다.
• 만약 $G_1$과 $G_2$가 $L$-동스펙트럼 정규 그래프이면, 임의의 그래프 $H$에 대해 $G_1 \bigcirc\bigcirc H$와 $G_2 \bigcirc\bigcirc H$는 $L$-동스펙트럼이다.
• 만약 $G$가 정규이고 $H_1$, $H_2$가 $Q$-동스펙트럼이며 동일한 행렬 코로나 함수를 가진다면, $G \bigcirc\bigcirc H_1$와 $G \bigcirc\bigcirc H_2$는 $Q$-동스펙트럼이다.