[논문 리뷰] Spectral Statistics of Non-Hermitian Matrices and Dissipative Quantum Chaos

Jiachen Li, Tomaž Prosen외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 08.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 112인용 수 100

한 줄 요약

이 논문은 비헤르미트 행렬에서 소산적 양자 혼돈을 진단하기 위해 복소 시간 푸리에 변환을 통한 복소 고유값의 밀도-밀도 상관관계인 소산적 스펙트럼 형상 인자(DSFF)를 도입한다. 복소 기니브레 집합(GinUE)과 포isson 스펙트럼에 대해 DSFF를 해석적으로 해결하여 |τ|에서 이차 램프를 가지는 딥-램프-플랫폼 구조를 보이며, 히어미트 시스템의 선형 램프와 대비된다. 또한 양자 킥드 톱과 고전적 확률 행렬에서의 보편성을 입증한다.

ABSTRACT

We propose a measure, which we call the dissipative spectral form factor (DSFF), to characterize the spectral statistics of non-Hermitian (and non-Unitary) matrices. We show that DSFF successfully diagnoses dissipative quantum chaos, and reveals correlations between real and imaginary parts of the complex eigenvalues up to arbitrary energy (and time) scale. Specifically, we provide the exact solution of DSFF for the GinUE and for a Poissonian random spectrum (Poisson) as minimal models of dissipative quantum chaotic and integrable systems respectively. For dissipative quantum chaotic systems, we show that DSFF exhibits an exact rotational symmetry in its complex time argument $ au$. Analogous to the spectral form factor (SFF) behaviour for GUE, DSFF for GinUE shows a ``dip-ramp-plateau'' behavior in $| au|$: DSFF initially decreases, increases at intermediate time scales, and saturates after a generalized Heisenberg time which scales as the inverse mean level spacing. Remarkably, for large matrix size, the ``ramp'' of DSFF for GinUE increases quadratically in $| au|$, in contrast to the linear ramp in SFF for Hermitian ensembles. For dissipative quantum integrable systems, we show that DSFF takes a constant value except for a region in complex time whose size and behavior depends on the eigenvalue density. Numerically, we verify the above claims and show that DSFF for real and quaternion real Ginibre ensembles coincides with the GinUE behaviour except for a region in complex time plane of measure zero in the limit of large matrix size. As a physical example, we consider the quantum kicked top model with dissipation, and show that it falls under the Ginibre universality class and Poisson as the `kick' is switched on or off. Lastly, we study spectral statistics of ensembles of random classical stochastic matrices, and show that these models fall under the Ginibre universality class.

연구 동기 및 목표

• 비헤르미트 및 비유니터리 행렬을 위한 스펙트럼 진단 도구를 개발하여 임의의 에너지 및 시간 스케일에서의 상관관계를 포괄한다.
• 고유값의 복소 시간 상관 함수를 통해 소산적 양자 혼돈을 특성화한다.
• 소산적 스펙트럼 형상 인자(DSFF)를 혼돈적 및 통합적 소산 시스템에 대한 보편적 탐사도구로 확립한다.
• 양자 킥드 톱 모델과 고전적 확률 행렬에서 DSFF 행동의 보편성을 입증한다.

제안 방법

• DSFF를 복소 고유값의 이중 레벨 상관관계 함수의 2차원 푸리에 변환의 α 승으로 제안하며, Kα(t,s) = ⟨|∑_{m,n} e^{i(xn−xm)t + i(yn−ym)s}|^α⟩로 정의한다.
• DSFF를 복소 시간 τ = |τ|e^{iθ}로 표현하며, K(τ,τ*)는 복소 평면에서 θ 축에 대한 고유값 차이의 투영에 의존한다.
• 최소 모델로 복소 기니브레 집합(GinUE, 혼란적)과 포isson 집합(통합적)에 대해 DSFF를 해석적으로 계산한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 해석 결과를 검증하고, 행렬 크기 및 고유값 밀도에 대한 의존성을 연구한다.
• DSFF를 소산이 있는 양자 킥드 톱과 랜덤 고전적 확률 행렬에 적용하여 GinUE와의 보편성을 보여준다.
• DSFF 행동이 GinUE 보편성과 일치하는 θ의 범위를 정량화하기 위해 임계 각도 θ*를 정의하며, 오차 함수와 곡률 분석을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소산적 양자 혼돈 시스템에서 DSFF는 보편적 행동을 보이며, 히어미트 시스템의 표준 SFF와 어떻게 다를까?
• RQ2 GinUE에 대한 DSFF의 기능적 형태는 무엇이며, |τ|에서 이차 램프를 가지는 딥-램프-플랫폼 구조를 보일까?
• RQ3 DSFF는 소산적 혼란적 및 통합적 시스템, 예를 들어 양자 킥드 톱 모델에서 이를 구분할 수 있을까?
• RQ4 고전적 확률 행렬의 DSFF 행동은 보편적이며 GinUE와 동일한가?
• RQ5 임계 각도 θ*는 행렬 크기 N에 대해 어떻게 스케일링되며, 이는 보편 행동 범위에 대해 무엇을 시사하는가?

주요 결과

• GinUE에 대한 DSFF는 |τ|에 대한 함수로서 딥-램프-플랫폼 구조를 보이며, 램프가 |τ|에 대해 이차적으로 증가한다. 이는 히어미트 시스템의 선형 램프와 대비된다.
• 큰 행렬 크기에서 실수 및 퀼터니언 실수 기니브레 집합의 DSFF는 측도가 0인 복소 시간 집합 외에는 GinUE 행동과 일치한다.
• 포isson 스펙트럼의 DSFF는 고유값 밀도에 의존하는 영역 외에는 일정하게 유지되며, 이는 상관관계 부재를 시사한다.
• 수치 결과는 킥이 켜져 있을 경우 소산이 있는 양자 킥드 톱이 GinUE 보편성 클래스에 속하고, 끄져져 있을 경우 포isson 클래스에 속한다는 것을 확인한다.
• 임계 각도 θ*는 θ* ∝ N^{-1/2}로 스케일링되며, 이는 보편 영역이 행렬 크기가 증가함에 따라 좁아짐을 시사한다.
• 고전적 확률 행렬과 CUE 또는 GinUE에서 유도된 랜덤 행렬 집합도 모두 GinUE 보편성 클래스에 속함을 확인하여 DSFF의 광범위한 적용 가능성을 입증한다.