[논문 리뷰] Splitting lemmas for the Finsler energy functional on the space of $H^1$-curves

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 37인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $H^1$-곡선들의 힐버트 다양체 위에서 페인슬러 에너지 함수에 대한 일반화된 모어스 보조정리(분할 보조정리)를 수립하여, 리만 기하학에서의 그롬올-마이어 결과를 페인슬러 기하학으로 확장한다. 에너지 함수의 임계 궤도에서의 임계 군의 구조가 유한차원 축소에 의해 유지됨을 증명함으로써, 군데-타나카의 무한히 많은 등급 불변 임계 궤도를 가진 폐곡선이 존재한다는 결과를 페인슬러 다양체로 확장할 수 있다.

ABSTRACT

We establish the splitting lemmas (or generalized Morse lemmas) for the energy functionals of Finsler metrics on the natural Hilbert manifolds of $H^1$-curves around a critical point or a critical $\R^1$ orbit of a Finsler isometry invariant closed geodesic. They are the desired generalization on Finsler manifolds of the corresponding Gromoll-Meyer's splitting lemmas on Riemannian manifolds (\cite{GM1, GM2}). As an application we extend to Finsler manifolds a result by Grove and Tanaka \cite{GroTa78, Tan82} about the existence of infinitely many, geometrically distinct, isometry invariant closed geodesics on a closed Riemannian manifold.

연구 동기 및 목표

• 페인슬러 다양체로의 그롬올-마이어의 분할 보조정리를 $F$-지오데식스의 에너지 함수에 대해 일반화한다.
• 에너지 함수가 $H^1$-곡선 위에서 $C^2$-연속성이 결여되어 있음에도 불구하고, 유한차원 근사 없이 무한차원 방법을 개발하여 이를 극복한다.
• 폐곡선의 임계 궤도에서의 임계 군의 구조가 유한대칭으로의 축소에 의해 유지됨을 증명함으로써, 폐곡선 존재 결과의 확장을 가능하게 한다.
• 에너지 함수의 임계 군과 그 대칭 축소판 사이의 동형사상 수립을 통해 대칭 설정에서의 베티 수의 유계성을 보장한다.
• 리만 다양체에서 군데와 타나카의 결과인 무한히 많은 기하학적으로 다른 등급 불변 폐곡선의 존재를 페인슬러 다양체로 확장한다.

제안 방법

• 경계 조건이 닫힌 부분다양체 $N \subset M \times M$ 에 속하는 $H^1$-곡선들의 힐버트 다양체 $\Lambda_N(M)$ 위에서 에너지 함수 $\mathcal{L}(\gamma) = \int_0^1 F^2(\gamma(t), \dot\gamma(t))\,dt$ 를 구성한다.
• 유한차원 근사나 펠라이스의 결과를 피하고, 무한차원 접근법을 적용하여 에너지 함수의 임계점과 궤도를 분석한다.
• 내적 $\langle \xi, \eta \rangle_1 = \int_0^1 \langle \xi, \eta \rangle dt + \int_0^1 \langle \nabla^g_{\dot\gamma} \xi, \nabla^g_{\dot\gamma} \eta \rangle dt$ 를 갖는 $W^{1,2}(I,M)$ 위의 $H^1$-위상과 리만-힐베르트 구조를 사용한다.
• 임계점 $\gamma$ 에서의 헤시안 $H_\gamma(\mathcal{L})$ 를 분석하며, 핵과 그 복소화를 중심으로 임계 군의 동형사상을 연구한다.
• $\mathbb{Z}_m$ 대칭에 의한 대칭 축소 $^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}$ 를 도입하고, 동형사상 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$ 를 증명한다.
• $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$ 를 만족하는 분해 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$ 를 사용하여, 임계 군의 집합이 유한함을 보이고, 이는 베티 수의 유계성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그롬올-마이어의 분할 보조정리를 $C^2$-연속성이 결여된 페인슬러 다양체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 유한차원 근사 없이, 대칭 축소에 의한 페인슬러 에너지 함수의 임계 군의 구조가 어떻게 유지되는가?
• RQ3 $\mathbb{Z}_m$-대칭 하에서 전체 에너지 함수와 그 대칭 축소판의 임계 군 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 대칭 축소에 의한 임계 군 차원의 유계성이 무한히 많은 기하학적으로 다른 폐곡선의 존재를 암시하는가?
• RQ5 군데와 타나카의 리만 다양체에서의 무한히 많은 등급 불변 폐곡선 존재 결과를 페인슬러 다양체로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $H^1$-곡선 위에서 페인슬러 에너지 함수에 대한 분할 보조정리를 수립하여, 그롬올-마이어의 결과를 페인슬러 기하학으로 일반화한다.
• 모든 $m \geq \mathfrak{m}_0$ 에 대해 $\mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$ 를 증명하여 전체 함수와 축소 함수의 임계 군 간의 동형사상을 보여준다.
• $\{ \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \mid m \geq \mathfrak{m}_0 \}$ 는 유한집합이며, 이는 임계 군의 차원이 일관되게 유계임을 암시한다.
• $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$ 를 만족하는 유한한 분해 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$ 를 통해, 모든 $k \geq 0$, $m \geq 0$ 에 대해 $\dim \mathscr{H}^0_k(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$ 가 유계임을 확립한다.
• 스펙트럼 분해와 복소화된 핵 위의 고정점 분석을 통해 임계 군의 동형사상 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$ 를 증명한다.
• 이 결과는 군데와 타나카의 정리의 확장이 가능함을 보여주며, 등급 불변 폐곡선이 존재하는 닫힌 페인슬러 다양체는 반드시 무한히 많은 기하학적으로 다른 등급 불변 폐곡선을 가진다.