[논문 리뷰] SPRSF: Sparse Phase Retrieval via Smoothing Function

Samuel Pinilla, Jorge Bacca외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 25.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 SPARTA와 같은 기존 방법의 비연속성 문제를 해결하기 위해 스무딩 함수를 사용하는 새로운 희소 위상 복원 알고리즘인 SPRSF를 제안한다. 이로 인해 잘라내기 임계값이 필요로 하지 않게 되며, 기울기 하강 방향에서 반복적 하드 테이싱을 적용하여 선형 수렴을 달성하고, 샘플링 복잡도 O(k² log n)로 기존 최고 수준의 방법들을 능가한다. 특히 희소성 k가 알려져 있지 않을 경우 복원률과 내성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

Phase retrieval (PR) is an ill-conditioned inverse problem which can be found in various science and engineering applications. Assuming sparse priority over the signal of interest, recent algorithms have been developed to solve the phase retrieval problem. Some examples include SparseAltMinPhase (SAMP), Sparse Wirtinger flow (SWF) and Sparse Truncated Amplitude flow (SPARTA). However, the optimization cost functions of the mentioned algorithms are non-convex and non-smooth. In order to fix the non-smoothness of the cost function, the SPARTA method uses truncation thresholds to calculate a truncated step update direction. In practice, the truncation procedure requires calculating more parameters to obtain a desired performance in the phase recovery. Therefore, this paper proposes an algorithm called SPRSF (Sparse Phase retrieval via Smoothing Function) to solve the sparse PR problem by introducing a smoothing function. SPRSF is an iterative algorithm where the update step is obtained by a hard thresholding over a gradient descent direction. Theoretical analyses show that the smoothing function uniformly approximates the non-convex and non-smooth sparse PR optimization problem. Moreover, SPRSF does not require the truncation procedure used in SPARTA. Numerical tests demonstrate that SPRSF performs better than state-of-the-art methods, especially when there is no knowledge about the sparsity $k$. In particular, SPRSF attains a higher mean recovery rate in comparison with SPARTA, SAMP and SWF methods, when the sparsity varies for the real and complex cases. Further, in terms of the sampling complexity, the SPRSF method outperforms its competitive alternatives.

연구 동기 및 목표

• SPARTA, SAMP, SWF와 같은 기존 희소 위상 복원 알고리즘의 비연속성과 높은 샘플링 복잡도 문제를 해결하기 위해.
• 희소 위상 복원 문제를 균일하게 근사하는 스무딩, 비볼록 최적화 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기울기 업데이트에서 잘라내기 임계값이 필요로 하지 않게 하여, 조정이 필요하고 성능을 떨어뜨리는 문제를 제거하기 위해.
• 희소 신호 k에 대해 최소한의 샘플링 복잡도로 선형 수렴을 달성하기 위해.
• 특히 진짜 희소성 수준 k가 알려져 있지 않을 경우 복원 성능을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 희소 위상 복원에서의 비연속적이며 비볼록인 비용 함수를 근사하기 위해 스무딩 함수를 도입한다.
• 희소성을 유지하기 위해 반복적 하드 테이싱을 통해 기울기 하강 방향을 업데이트한다.
• 비용 함수 내 절댓값 및 위상 항목에 대한 스무딩 근사를 통해 미분 가능성을 확보한다.
• 스펙트럼 노름과 농도 부등식을 사용하여 기울기 노름에 대한 이론적 경계를 유도한다.
• 측정 행렬이 제한된 이소메트릭 성질을 고확률로 만족할 조건 하에서 수렴성을 확립한다.
• 모든 k-희소 신호에 대해 샘플링 복잡도 O(k² log n)로 선형 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무딩 함수가 비연속적이며 비볼록인 희소 위상 복원 비용 함수를 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 기울기 업데이트에서 잘라내기 임계값을 제거하면 복원 성능 향상과 샘플링 복잡도 감소에 기여하는가?
• RQ3 SPRSF는 희소성 수준 k의 사전 지식 없이도 선형 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 다양한 희소성 조건 하에서 SPRSF는 SPARTA, SAMP, SWF와 비교해 복원률과 내성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 정확한 신호 복원을 위한 SPRSF의 이론적 샘플링 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• SPRSF는 모든 k-희소 신호에 대해 샘플링 복잡도 O(k² log n)로 선형 수렴을 달성하며, 이는 이론적 경계와 일치한다.
• SPRSF는 특히 희소성 수준 k가 알려져 있지 않을 경우 평균 복원률에서 SPARTA, SAMP, SWF를 능가한다.
• 잘라내기 임계값이 필요로 하지 않아 파rameter 조정이 줄어들고 안정성이 향상된다.
• 수치 결과는 SPRSF가 다양한 희소성 조건 하에서 실수 및 복소수 신호 모두에서 높은 복원 성능를 유지함을 보여준다.
• 이론적 분석은 스무딩 함수가 원래의 비연속 비용 함수를 균일하게 근사함을 확인한다.
• SPRSF는 희소성에 대한 불확실성에 강건하여, k가 사전에 알려져 있지 않은 실용적 응용 분야에 적합하다.