[논문 리뷰] Stability and Control of Piecewise-Deterministic Queueing Systems.

Li Jin, Saurabh Amin|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 07.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마코프 변화하는 용량과 상태 피드백 제어를 갖는 조각별 결정론적 대기 시스템(PDQs)을 연구하며, 안정성에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 수립한다. 안정성에 대한 이중 행렬부등식 조건을 유도하고 유일한 에르고딕성을 증명하며, 이중 모드 시스템에 대한 명시적 결과와 단일 및 병렬 네트워크 링크에의 응용을 제시한다.

ABSTRACT

We consider a piecewise-deterministic queueing (PDQ) model to study traffic queues due to stochastic capacity fluctuations in transportation facilities. The saturation rate (capacity) of the PDQ model switches between a finite set of values (modes) according to a Markov chain. The inflow to the PDQ is controlled by a state-feedback policy. The main results of this article are stability conditions of PDQs, i.e. conditions under which the distribution of the queue length converges to a unique invariant probability measure. On one hand, a necessary condition for stability is that the average inflow does not exceed the average saturation rate. On the other hand, based on the Foster-Lyapunov criteria, we derive a sufficient condition that requires a bilinear matrix inequality to admit positive solutions and the invariant probability measure to be unique. We also study the rate of convergence for stable PDQs. Furthermore, for PDQs with two modes, a necessary and sufficient condition for stability is available. In addition, we present examples for the stability analysis of feedback control policies for single PDQs as well as a network of two PDQ links in parallel.

연구 동기 및 목표

• 마코프 체인에 의해 모델링된 확률적 용량 변동 하에서 조각별 결정론적 대기 시스템(PDQs)의 안정성을 분석하는 것.
• 대기 길이 분포를 지배하는 유일한 불변 확률 측도 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 안정된 PDQ 시스템에서 불변 측도로의 수렴 속도를 평가하는 것.
• 동적 용량 제도 하에서 시스템 안정성을 보장하는 피드백 제어 정책을 개발하는 것.
• 이론적 프레임워크를 단일 PDQ 및 두 개의 PDQ 링크로 구성된 병렬 네트워크에 적용하는 것.

제안 방법

• 용량이 연속시간 마코프 체인에 따라 이산 모드 간 전환되는 조각별 결정론적 마코프 과정으로 PDQ를 모델링하는 것.
• 현재 대기 길이와 시스템 모드에 기반하여 유입을 조절하기 위해 상태 피드백 제어를 사용하는 것.
• 포스터-리아푸노프 기준을 적용하여 양의 정부호 해를 갖는 이중 행렬부등식을 포함하는 충분한 안정성 조건을 도출하는 것.
• 안정성에 대한 필수 조건을 확립: 평균 유입률이 모든 모드에서 평균 포화율을 초과하지 않아야 한다.
• 이중 모드 PDQ에 대해 명시적 해석적 해를 사용하여 필요 및 충분한 안정성 조건을 도출하는 것.
• 리아푸노프 함수 기법과 불변 측도의 성질을 이용하여 수렴 속도를 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PDQ의 대기 길이 분포가 어떤 조건에서 유일한 불변 확률 측도로 수렴하는가?
• RQ2 시스템 안정성을 보장하기 위해 평균 유입률과 평균 용량 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 마코프 변화하는 용량 하에서 시스템 안정성을 유지하기 위해 어떻게 피드백 제어 정책을 설계할 수 있는가?
• RQ4 안정된 PDQ 시스템에서 불변 분포로의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 이중 모드 PDQ에 대해 필요 및 충분한 안정성 조건을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 안정성에 대한 필수 조건은 평균 유입률이 모든 용량 모드에서 평균 포화율을 초과하지 않는 것이다.
• 안정성에 대한 충분 조건은 이중 행렬부등식이 양의 정부호 해를 갖으며, 불변 측도가 유일한 것이다.
• 정확히 두 개의 용량 모드를 갖는 PDQ에 대해서는 안정성에 대한 필요 및 충분 조건을 명시적으로 도출하였다.
• 리아푸노프 함수 방법과 시스템 파라미터를 사용하여 불변 분포로의 수렴 속도를 정량화하였다.
• 단일 PDQ와 병렬 두 링크 네트워크에 대한 예시를 통해 피드백 제어 정책을 검증하였으며, 유도된 조건 하에서 안정성을 입증하였다.
• 제안된 충분한 안정성 조건 하에서 대기 길이 과정의 불변 확률 측도는 유일하다.